题目
1、已知方程x+1+i(y-3)=(1+i)(5+3i)，则x=____，y=____。
1、已知方程$x+1+i(y-3)=(1+i)(5+3i)$，则x=____，y=____。
题目解答
答案
为了解方程 $x + 1 + i(y - 3) = (1 + i)(5 + 3i)$，我们需要先简化等式右边的表达式，然后将等式两边的实部和虚部分别相等。
首先，我们简化等式右边的表达式 $(1 + i)(5 + 3i)$。我们使用分配律（对于二项式，也称为FOIL方法）：
\[
(1 + i)(5 + 3i) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 3i + i \cdot 5 + i \cdot 3i = 5 + 3i + 5i + 3i^2
\]
回想 $i^2 = -1$，所以 $3i^2 = 3(-1) = -3$。将这个值代入，我们得到：
\[
5 + 3i + 5i + 3i^2 = 5 + 3i + 5i - 3 = 2 + 8i
\]
现在，方程是：
\[
x + 1 + i(y - 3) = 2 + 8i
\]
接下来，我们将等式两边的实部和虚部分别相等。左边的实部是 $x + 1$，右边的实部是2。左边的虚部是 $y - 3$，右边的虚部是8。因此，我们可以建立以下方程组：
\[
x + 1 = 2
\]
\[
y - 3 = 8
\]
我们解第一个方程求 $x$：
\[
x + 1 = 2 \implies x = 2 - 1 \implies x = 1
\]
我们解第二个方程求 $y$：
\[
y - 3 = 8 \implies y = 8 + 3 \implies y = 11
\]
因此，解是：
\[
\boxed{1, 11}
\]
解析
考查要点：本题主要考查复数的乘法运算及复数相等的条件。
解题思路：
- 展开右边复数乘积：利用分配律展开 $(1+i)(5+3i)$，注意 $i^2 = -1$ 的替换。
- 分离实部与虚部：将方程两边的实部和虚部分别对应相等，建立方程组。
- 解方程组：通过解线性方程求出 $x$ 和 $y$ 的值。
步骤1：展开右边复数乘积
计算 $(1+i)(5+3i)$：
$\begin{aligned} (1+i)(5+3i) &= 1 \cdot 5 + 1 \cdot 3i + i \cdot 5 + i \cdot 3i \\ &= 5 + 3i + 5i + 3i^2 \\ &= 5 + 8i + 3(-1) \quad (\text{因 } i^2 = -1) \\ &= 5 + 8i - 3 \\ &= 2 + 8i \end{aligned}$
步骤2：分离实部与虚部
原方程变为：
$x + 1 + i(y - 3) = 2 + 8i$
根据复数相等的条件，实部相等，虚部系数相等：
$\begin{cases} x + 1 = 2 \\ y - 3 = 8 \end{cases}$
步骤3：解方程组
- 解 $x$：
$x + 1 = 2 \implies x = 2 - 1 = 1$ - 解 $y$：
$y - 3 = 8 \implies y = 8 + 3 = 11$