5、下列数中，为实数的是（ ） （A.）（1-i）³ （B.）cosi （C.）Lni （D.）e^3-(pi)/(2)i

本题考查复数运算结果是否为实数的判断，涉及复数幂运算、三角函数、对数函数、指数函数的基本性质。解题核心在于：

1. 掌握复数运算的展开方法，如二项式展开或极坐标形式；
2. 熟悉复变函数的表达式，如$\cos i$的展开式；
3. 识别结果的虚实部分，通过代数运算或公式直接判断。

关键点：

• 选项B利用复数余弦公式展开后，结果为实数；
• 其余选项通过计算可发现均含有虚部或为纯虚数。

选项A：$(1-i)^3$

展开计算

$(1-i)^3 = (1-i)(1-i)^2 = (1-i)(-2i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = 2 - 2i$
结果含虚部$-2i$，非实数。

选项B：$\cos i$

复数余弦公式

$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$
代入$z = i$：
$\cos i = \frac{e^{i \cdot i} + e^{-i \cdot i}}{2} = \frac{e^{-1} + e^{1}}{2} = \frac{e + \frac{1}{e}}{2}$
结果为实数。

选项C：$\ln i$

复数对数形式

$i = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} \quad (k \in \mathbb{Z})$
取主值$k=0$：
$\ln i = i\frac{\pi}{2}$
结果为纯虚数。

选项D：$e^{3-\frac{\pi}{2}i}$

指数拆分

$e^{3-\frac{\pi}{2}i} = e^3 \cdot e^{-\frac{\pi}{2}i} = e^3 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = e^3 (0 - i) = -ie^3$
结果为纯虚数。