题目

题目设 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数，“ M⇔N ”表示“ M 的充分必要条件是 N ”，则必有 () A. F(x) 是偶函数 ⇔f(x) 是奇函数 B. F(x) 是奇函数 ⇔f(x) 是偶函数 C. F(x) 是周期函数 ⇔f(x) 是周期函数 D. F(x) 是单调函数 ⇔f(x) 是单调函数

题目

设 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数，“ M⇔N ”表示“ M 的充分必要条件是 N ”，则必有 ()

A. F(x) 是偶函数 ⇔f(x) 是奇函数
B. F(x) 是奇函数 ⇔f(x) 是偶函数
C. F(x) 是周期函数 ⇔f(x) 是周期函数
D. F(x) 是单调函数 ⇔f(x) 是单调函数

题目解答

答案

方法一：任一原函数可表示为 F(x)=∫x0f(t)dt+C, 且 F′(x)=f(x)

∵ 当 F(x) 为偶函数时 , 有 F(−x)=F(x)

∴ 对上式等式两边同时求导 , 得到 −F′(−x)=F′(x)

∴−f(−x)=f(x), 即 f(−x)=−f(x)

∴f(x) 是奇函数

反之 , 当 f(x) 为奇函数时 , 即 f(−x)=−f(x)

∴ 对上式等式两边同时作变上限积分 , 得到 ∫x0f(−t)dt=− ∫ x0f(t)dt

令等式左边 −t=u ， dt=−du

将等式左边变形得到： − ∫ −x0f(u)du=− ∫ x0f(t)dt

∴∫−x0f(t)dt= ∫ x0f(t)dt

∴F(−x)=F(x), 即 F(x) 为偶函数。

故选：A.

方法二：

先令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1

∵f(x)=1 是偶函数且为周期函数 , 但 F(x)=x+1 为非奇非偶函数且非周期函数

∴ 选项 (B) 、 (C) 不正确

∴ 排除 (B) 、 (C)

再令 f(x)=x, 则取 F(x)=12x2

∵f(x)=x 在 x∈R 内是增函数函数 , 而 F(x)=12x2 在 x∈R 上是非单调函数

∴ 选项 (D) 不正确

∴ 排除 (D)

故选：A.

解析

步骤 1：理解原函数与导数的关系
原函数 F(x) 的导数是 f(x)，即 F'(x) = f(x)。因此，F(x) 的性质可以通过 f(x) 的性质来推断，反之亦然。

步骤 2：分析选项 A
如果 F(x) 是偶函数，那么 F(-x) = F(x)。对等式两边求导，得到 -F'(-x) = F'(x)，即 -f(-x) = f(x)，所以 f(x) 是奇函数。反之，如果 f(x) 是奇函数，那么 f(-x) = -f(x)，对等式两边积分，得到 F(-x) = F(x)，所以 F(x) 是偶函数。因此，选项 A 正确。

步骤 3：分析选项 B
如果 F(x) 是奇函数，那么 F(-x) = -F(x)。对等式两边求导，得到 -F'(-x) = -F'(x)，即 f(-x) = f(x)，所以 f(x) 是偶函数。反之，如果 f(x) 是偶函数，那么 f(-x) = f(x)，对等式两边积分，得到 F(-x) = -F(x)，所以 F(x) 是奇函数。因此，选项 B 正确。

步骤 4：分析选项 C
如果 F(x) 是周期函数，那么 F(x + T) = F(x)，其中 T 是周期。对等式两边求导，得到 F'(x + T) = F'(x)，即 f(x + T) = f(x)，所以 f(x) 是周期函数。反之，如果 f(x) 是周期函数，那么 f(x + T) = f(x)，对等式两边积分，得到 F(x + T) = F(x)，所以 F(x) 是周期函数。因此，选项 C 正确。

步骤 5：分析选项 D
如果 F(x) 是单调函数，那么 F'(x) = f(x) 的符号不变。但是，f(x) 的单调性与 F(x) 的单调性没有直接关系。因此，选项 D 不正确。