题目
设随机变量 X sim U(2,5)，现在对 x 进行3次独立观测，则至多有1次观测值大于3的概率为 _。A. 7/27B. 20/27C. 17/27D. 12/27
设随机变量 $X \sim U(2,5)$，现在对 $x $进行3次独立观测，则至多有1次观测值大于3的概率为 _。
A. 7/27
B. 20/27
C. 17/27
D. 12/27
题目解答
答案
A. 7/27
解析
步骤 1：确定随机变量 $X$ 的分布
$X$ 是一个均匀分布的随机变量，其取值范围为 $[2,5]$。因此，$X$ 的概率密度函数为：
$$ f(x) = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3} $$
步骤 2：计算观测值大于3的概率
由于 $X$ 的取值范围为 $[2,5]$，观测值大于3的概率为：
$$ P(X > 3) = \frac{5-3}{5-2} = \frac{2}{3} $$
步骤 3：计算至多有1次观测值大于3的概率
由于观测是独立的，我们可以使用二项分布来计算至多有1次观测值大于3的概率。设 $Y$ 为观测值大于3的次数，则 $Y$ 服从二项分布 $B(3, \frac{2}{3})$。因此，至多有1次观测值大于3的概率为：
$$ P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) $$
$$ P(Y = 0) = \binom{3}{0} \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$
$$ P(Y = 1) = \binom{3}{1} \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{6}{27} $$
$$ P(Y \leq 1) = \frac{1}{27} + \frac{6}{27} = \frac{7}{27} $$
$X$ 是一个均匀分布的随机变量，其取值范围为 $[2,5]$。因此，$X$ 的概率密度函数为：
$$ f(x) = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3} $$
步骤 2：计算观测值大于3的概率
由于 $X$ 的取值范围为 $[2,5]$，观测值大于3的概率为：
$$ P(X > 3) = \frac{5-3}{5-2} = \frac{2}{3} $$
步骤 3：计算至多有1次观测值大于3的概率
由于观测是独立的，我们可以使用二项分布来计算至多有1次观测值大于3的概率。设 $Y$ 为观测值大于3的次数，则 $Y$ 服从二项分布 $B(3, \frac{2}{3})$。因此，至多有1次观测值大于3的概率为：
$$ P(Y \leq 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) $$
$$ P(Y = 0) = \binom{3}{0} \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$
$$ P(Y = 1) = \binom{3}{1} \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{6}{27} $$
$$ P(Y \leq 1) = \frac{1}{27} + \frac{6}{27} = \frac{7}{27} $$