求过点(2,-3,4)且同时与两平面2x-y-5 z=3和x-4z=1平行的直线的方程

步骤 1：确定两平面的法向量
平面2x-y-5z=3的法向量为$\vec{n_1}=(2,-1,-5)$，平面x-4z=1的法向量为$\vec{n_2}=(1,0,-4)$。

步骤 2：计算直线的方向向量
直线的方向向量$\vec{d}$与两平面的法向量垂直，因此$\vec{d}$是$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$的叉乘结果。计算$\vec{d}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
$$
\vec{d} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & -1 & -5 \\
1 & 0 & -4
\end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-4)-(-5)(0)) - \vec{j}((2)(-4)-(-5)(1)) + \vec{k}((2)(0)-(-1)(1)) = 4\vec{i} + 3\vec{j} + 1\vec{k} = (4,3,1)
$$

步骤 3：写出直线的点向式方程
已知直线过点(2,-3,4)，方向向量为(4,3,1)，根据点向式方程，直线方程为$\dfrac {x-2}{4}=\dfrac {y+3}{3}=\dfrac {z-4}{1}$。