题目
1.23△设A、B均为3阶矩阵,I为3阶单位矩阵,已知 =2A+B, 其中矩-|||-阵-|||-2 0 2-|||-B= 0 4 0-|||-2 0 2-|||-则 ((A-1))^-1= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：将已知条件 AB=2A+B 重写为矩阵方程
已知 AB=2A+B，可以重写为 AB-2A=B，即 A(B-2I)=B，其中 I 是3阶单位矩阵。
步骤 2：计算矩阵 B-2I
根据矩阵 B 的定义，计算 B-2I：
$$
B-2I = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right. - 2\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 0& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：求解矩阵 A
根据 A(B-2I)=B，可以得到 A=(B-2I)^{-1}B。首先计算 (B-2I)^{-1}：
$$
(B-2I)^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 0\end{matrix} ) \right. ^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
然后计算 A：
$$
A = (B-2I)^{-1}B = \left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 4：计算 ${(A-1)}^{-1}$
根据 A 的值，计算 A-1：
$$
A-1 = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right. - \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
然后计算 ${(A-1)}^{-1}$：
$$
{(A-1)}^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right. ^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
已知 AB=2A+B，可以重写为 AB-2A=B，即 A(B-2I)=B，其中 I 是3阶单位矩阵。
步骤 2：计算矩阵 B-2I
根据矩阵 B 的定义，计算 B-2I：
$$
B-2I = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right. - 2\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 0& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：求解矩阵 A
根据 A(B-2I)=B，可以得到 A=(B-2I)^{-1}B。首先计算 (B-2I)^{-1}：
$$
(B-2I)^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 0\end{matrix} ) \right. ^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
然后计算 A：
$$
A = (B-2I)^{-1}B = \left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 4：计算 ${(A-1)}^{-1}$
根据 A 的值，计算 A-1：
$$
A-1 = \left (\begin{matrix} 2& 0& 2\\ 0& 4& 0\\ 2& 0& 2\end{matrix} ) \right. - \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
然后计算 ${(A-1)}^{-1}$：
$$
{(A-1)}^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{matrix} ) \right. ^{-1} = \left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$