13 判断 (3分) 二重极限 lim _((x, y) arrow(x_{0), y_(0))} f(x, y) 存在，则二次极限 lim _(x arrow x_{0)}(lim _(y arrow y_{0)} f(x, y)) 或 lim _(y arrow y_{0)}(lim _(x arrow x_{0)} f(x, y)) 存在。A. √B. ×

考查要点：本题主要考查二重极限与二次极限的关系，理解两者之间的区别。

解题核心思路：
二重极限要求点$(x, y)$以任意路径趋近于$(x_0, y_0)$时函数值趋于同一极限；而二次极限是分步求极限（先对一个变量求极限，再对另一个变量求极限），可能存在路径依赖导致极限不存在。关键点在于构造反例说明二重极限存在但二次极限不存在的情况。

破题关键：
通过反例（如$f(x, y) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$）说明二重极限存在，但二次极限因内层极限振荡不收敛而不存在。

反例分析

考虑函数$f(x, y) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$，当$(x, y) \to (0, 0)$时：

1. 二重极限存在：
   对任意路径趋近于$(0, 0)$，有
   $|f(x, y)| \leq |x| + |y| \to 0,$
   因此二重极限为$0$。

2. 二次极限不存在：

   • 先对$y$求极限：固定$x \neq 0$，当$y \to 0$时，$\sin \frac{1}{y}$振荡无极限，故$\lim_{y \to 0} f(x, y)$不存在。
   • 先对$x$求极限：固定$y \neq 0$，当$x \to 0$时，$\sin \frac{1}{x}$振荡无极限，故$\lim_{x \to 0} f(x, y)$不存在。
     因此，两种二次极限均不存在。

结论：二重极限存在不能保证二次极限存在，原命题错误。