有一半径R的单匝线圈,通以电流I。若保持导线长度不变,将该导线弯成匝数4的圆线圈,则线圈中心的磁感应强度和线圈的磁矩分别为原来的:() A. 2倍和1div 2倍 B. 4倍和1div 4倍 C. 8倍和1div 2倍 D. 16倍和1div 4倍

考查要点：本题主要考查磁场中圆形线圈的磁感应强度和磁矩的计算，涉及导线长度不变时匝数变化对线圈尺寸的影响。

解题核心思路：

1. 导线长度不变：原单匝线圈周长为$2\pi R$，变为4匝后，每匝周长变为原来的$\frac{1}{4}$，从而确定新线圈的半径。
2. 磁感应强度公式：单匝圆线圈中心磁感应强度为$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$，多匝时需乘以匝数$N$，但需注意新半径的变化。
3. 磁矩公式：磁矩$\mu = N I A$，需结合匝数和新面积计算。

破题关键点：

• 导线长度守恒确定新半径$r = \frac{R}{4}$。
• 磁感应强度公式中半径和匝数的双重影响。
• 磁矩与匝数及面积的乘积关系。

导线长度与新半径计算

原单匝线圈周长为$2\pi R$，总导线长度$L = 2\pi R$。
变为4匝后，总长度仍为$L = 4 \cdot 2\pi r$，解得新半径：
$r = \frac{L}{4 \cdot 2\pi} = \frac{2\pi R}{8\pi} = \frac{R}{4}.$

磁感应强度计算

单匝圆线圈中心磁感应强度为：
$B = \frac{\mu_0 I}{2R}.$
4匝线圈时，每匝半径为$r = \frac{R}{4}$，总磁感应强度为：
$B' = N \cdot \frac{\mu_0 I}{2r} = 4 \cdot \frac{\mu_0 I}{2 \cdot \frac{R}{4}} = 4 \cdot \frac{2\mu_0 I}{R} = \frac{8\mu_0 I}{R}.$
原磁感应强度$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$，故：
$\frac{B'}{B} = \frac{\frac{8\mu_0 I}{R}}{\frac{\mu_0 I}{2R}} = 16.$

磁矩计算

原磁矩为：
$\mu = N I A = 1 \cdot I \cdot \pi R^2 = I\pi R^2.$
新磁矩为：
$\mu' = N' I A' = 4 \cdot I \cdot \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = 4I\pi \cdot \frac{R^2}{16} = \frac{I\pi R^2}{4}.$
故$\mu'$是原来的$\frac{1}{4}$倍。