题目
设 (x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^n+2-(x)^-n}({x)^n+(x)^-n} 则函数(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^n+2-(x)^-n}({x)^n+(x)^-n}( A ) 仅有 1 个 间断点 ( B ) 仅有 2 个 间断点其中 1 个 可去 1 个 无穷 ( C ) 仅有 2 个 间断点 2 个 都是跳跃 ( D ) 有 2 跳跃间断点和 1 个可去间断点
设 
则函数
( A ) 仅有 1 个 间断点
( B ) 仅有 2 个 间断点其中 1 个 可去 1 个 无穷
( C ) 仅有 2 个 间断点 2 个 都是跳跃
( D ) 有 2 跳跃间断点和 1 个可去间断点
题目解答
答案
先对函数划区间化简：
当
时
根据函数易知：
为可去间断点
为跳跃间断点，
故有 2 跳跃间断点和 1 个可去间断点
∴选D
解析
步骤 1：化简函数
首先，我们对函数 $f(x)$ 进行化简。给定的函数是 $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{n+2}-{x}^{-n}}{{x}^{n}+{x}^{-n}}$。我们可以通过将分子和分母同时乘以 ${x}^{n}$ 来化简这个极限表达式，得到 $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2n+2}-1}{{x}^{2n}+1}$。接下来，我们根据 $x$ 的不同取值范围来讨论这个极限的值。
步骤 2：讨论不同取值范围
当 $0<|x|<1$ 时，${x}^{2n}$ 会趋向于 0，因此 $f(x)=-1$。
当 $|x|=1$ 时，${x}^{2n}=1$，因此 $f(x)=0$。
当 $|x|>1$ 时，${x}^{2n}$ 会趋向于无穷大，因此 $f(x)={x}^{2}$。
步骤 3：确定间断点
根据函数的定义，我们可以看出 $x=0$ 是一个可去间断点，因为当 $x$ 接近 0 时，函数的值趋向于 -1，但函数在 $x=0$ 处没有定义。而 $x=\pm 1$ 是跳跃间断点，因为函数在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处的左极限和右极限不相等。
首先，我们对函数 $f(x)$ 进行化简。给定的函数是 $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{n+2}-{x}^{-n}}{{x}^{n}+{x}^{-n}}$。我们可以通过将分子和分母同时乘以 ${x}^{n}$ 来化简这个极限表达式，得到 $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2n+2}-1}{{x}^{2n}+1}$。接下来，我们根据 $x$ 的不同取值范围来讨论这个极限的值。
步骤 2：讨论不同取值范围
当 $0<|x|<1$ 时，${x}^{2n}$ 会趋向于 0，因此 $f(x)=-1$。
当 $|x|=1$ 时，${x}^{2n}=1$，因此 $f(x)=0$。
当 $|x|>1$ 时，${x}^{2n}$ 会趋向于无穷大，因此 $f(x)={x}^{2}$。
步骤 3：确定间断点
根据函数的定义，我们可以看出 $x=0$ 是一个可去间断点，因为当 $x$ 接近 0 时，函数的值趋向于 -1，但函数在 $x=0$ 处没有定义。而 $x=\pm 1$ 是跳跃间断点，因为函数在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处的左极限和右极限不相等。