int_(0)^(pi)/(2) (2cos x + sin x) , dx = ______

本题考查定积分的计算，解题思路是利用定积分的性质将被积函数拆分成两个简单函数的积分之和，再分别求出这两个积分的值，最后将结果相加；也可以先求出被积函数的原函数，再利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分的值。

方法一：拆分积分计算

根据定积分的性质$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx$，对$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos x + \sin x) \, dx$进行拆分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos x + \sin x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos x \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$

• 计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos x \, dx$：
  根据定积分的性质$\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos x \, dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$。
  因为$(\sin x)^\prime = \cos x$，所以$\cos x$的一个原函数是$\sin x$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$（$F(x)$是$f(x)$的一个原函数），可得：
  $2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 2 \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0)= 2(1 - 0) = 2$
• 计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$：
  因为$(-\cos x)^\prime = \sin x$，所以$\sin x$的一个原函数是$-\cos x$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式可得：
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0)= 0 + 1 = 1$
• 将两个积分的结果相加：
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos x + \sin x) \, dx = 2 + 1 = 3$

方法二：直接求原函数计算

因为$(2\sin x - \cos x)^\prime = 2\cos x + \sin x$，所以$2\cos x + \sin x$的一个原函数是$F(x) = 2\sin x - \cos x$。
根据牛顿 - 莱布尼茨公式可得：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos x + \sin x) \, dx = F\left( \frac{\pi}{2} \right) - F(0) = (2\sin\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{2}) - (2\sin 0 - \cos 0) = (2\times 1 - 0) - (2\times 0 - 1) = 2 + 1 = 3$