题目
【例10】将函数f(x)=arctan x^2展开成x的幂级数.
【例10】将函数$f(x)=\arctan x^{2}$展开成$x$的幂级数.
题目解答
答案
为了将函数 $ f(x) = \arctan x^2 $ 展开成 $ x $ 的幂级数，我们可以利用已知的 $ \arctan t $ 的幂级数展开式。 $ \arctan t $ 的幂级数展开式为：
\[
\arctan t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{2n+1}, \quad |t| < 1
\]
在我们的题目中，我们令 $ t = x^2 $。将 $ t = x^2 $ 代入 $ \arctan t $ 的幂级数展开式中，我们得到：
\[
\arctan x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x^2)^{2n+1}}{2n+1}
\]
接下来，我们简化 $ (x^2)^{2n+1} $：
\[
(x^2)^{2n+1} = x^{4n+2}
\]
因此， $ \arctan x^2 $ 的幂级数展开式变为：
\[
\arctan x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+2}}{2n+1}
\]
这个级数的收敛半径与 $ \arctan t $ 的幂级数收敛半径相同，即 $ |t| < 1 $。由于 $ t = x^2 $，所以 $ |x^2| < 1 $，即 $ |x| < 1 $。
因此，函数 $ f(x) = \arctan x^2 $ 展开成 $ x $ 的幂级数为：
\[
\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+2}}{2n+1}}
\]
解析
步骤 1：利用已知的 $\arctan t$ 的幂级数展开式
已知 $\arctan t$ 的幂级数展开式为：\[ \arctan t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{2n+1}, \quad |t| < 1 \]
步骤 2：将 $t = x^2$ 代入 $\arctan t$ 的幂级数展开式中
将 $t = x^2$ 代入上述展开式中，我们得到：\[ \arctan x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x^2)^{2n+1}}{2n+1} \]
步骤 3：简化 $(x^2)^{2n+1}$
简化 $(x^2)^{2n+1}$，我们得到：\[ (x^2)^{2n+1} = x^{4n+2} \]
步骤 4：写出 $\arctan x^2$ 的幂级数展开式
将步骤 3 的结果代入步骤 2 的展开式中，我们得到：\[ \arctan x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+2}}{2n+1} \]
步骤 5：确定幂级数的收敛半径
由于 $t = x^2$，所以 $|x^2| < 1$，即 $|x| < 1$。因此，函数 $f(x) = \arctan x^2$ 展开成 $x$ 的幂级数的收敛半径为 $|x| < 1$。
已知 $\arctan t$ 的幂级数展开式为：\[ \arctan t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{2n+1}, \quad |t| < 1 \]
步骤 2：将 $t = x^2$ 代入 $\arctan t$ 的幂级数展开式中
将 $t = x^2$ 代入上述展开式中，我们得到：\[ \arctan x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x^2)^{2n+1}}{2n+1} \]
步骤 3：简化 $(x^2)^{2n+1}$
简化 $(x^2)^{2n+1}$，我们得到：\[ (x^2)^{2n+1} = x^{4n+2} \]
步骤 4：写出 $\arctan x^2$ 的幂级数展开式
将步骤 3 的结果代入步骤 2 的展开式中，我们得到：\[ \arctan x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n+2}}{2n+1} \]
步骤 5：确定幂级数的收敛半径
由于 $t = x^2$，所以 $|x^2| < 1$，即 $|x| < 1$。因此，函数 $f(x) = \arctan x^2$ 展开成 $x$ 的幂级数的收敛半径为 $|x| < 1$。