题目

1.设E,L可测，f(x)在E上L可积，e_(n)=E(|f|geqslant n)，则lim_(ntoinfty)ncdot me_(n)=0.

1.设E,L可测，f(x)在E上L可积，$e_{n}=E(|f|\geqslant n)$，则 $\lim_{n\to\infty}n\cdot me_{n}=0.$

题目解答

答案

由 $f$ 在 $E$ 上可积知 $\int_E |f| \, dx < \infty$，且 $m(E[|f| = \infty]) = 0$。集合列 $e_n = E[|f| \ge n]$ 单调递减至 $E[|f| = \infty]$，故 $\lim_{n \to \infty} m e_n = 0$。 对任意 $\epsilon > 0$，由积分绝对连续性，存在 $\delta > 0$，当 $m A < \delta$ 时，$\int_A |f| \, dx < \epsilon$。 取 $N$ 足够大，使 $n \ge N$ 时 $m e_n < \delta$，则 \[ n \cdot m e_n \le \int_{e_n} |f| \, dx < \epsilon. \] 由 $\epsilon$ 的任意性，得 $\lim_{n \to \infty} n \cdot m e_n = 0$。 \[ \boxed{\lim_{n \to \infty} n \cdot m e_n = 0} \]

解析

考查要点：本题主要考查可积函数的积分绝对连续性以及测度的性质，需要结合单调集合列的测度收敛性进行分析。

解题核心思路：

  1. 利用可积函数的性质：由$f$在$E$上可积，可知$\int_E |f| \, dx < \infty$，且$\{x \in E \mid |f(x)| = \infty\}$的测度为$0$。
  2. 分析集合列的单调性：集合$e_n = \{x \in E \mid |f(x)| \geq n\}$单调递减至$\{x \in E \mid |f(x)| = \infty\}$，故$\lim_{n \to \infty} m e_n = 0$。
  3. 应用积分绝对连续性：对任意$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，当$m A < \delta$时，$\int_A |f| \, dx < \epsilon$。通过比较$n \cdot m e_n$与积分$\int_{e_n} |f| \, dx$的关系，结合$\epsilon$的任意性，得出极限为$0$。

步骤1：分析集合列的测度收敛性

  • 由$f$可积，$\{x \in E \mid |f(x)| = \infty\}$的测度为$0$。
  • 集合列$e_n = \{x \in E \mid |f(x)| \geq n\}$单调递减至$\{x \in E \mid |f(x)| = \infty\}$，故$\lim_{n \to \infty} m e_n = 0$。

步骤2：应用积分绝对连续性

  • 对任意$\epsilon > 0$，由积分绝对连续性，存在$\delta > 0$，当$m A < \delta$时，$\int_A |f| \, dx < \epsilon$。
  • 取$N$足够大，使得当$n \geq N$时，$m e_n < \delta$。

步骤3：比较$n \cdot m e_n$与积分

  • 在$e_n$上，$|f(x)| \geq n$，故$\int_{e_n} |f| \, dx \geq \int_{e_n} n \, dx = n \cdot m e_n$。
  • 结合积分绝对连续性，得$n \cdot m e_n \leq \int_{e_n} |f| \, dx < \epsilon$。

步骤4：利用$\epsilon$的任意性

  • 由于$\epsilon$是任意的，故$\lim_{n \to \infty} n \cdot m e_n = 0$。