题目
20. (2.0分) 设（X,Y）的联合概率密度为 f(x,y)=}2e^-(2x+y),x>0,y>00,其他,则X与Y独立。（）A. 对B. 错
20. (2.0分)
设$（X,Y）$的联合概率密度为
$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(2x+y)},x>0,y>0\\0,其他\end{cases}$,则$X与Y$独立。（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：计算边缘概率密度函数
- 对于 $X$： \[ f_X(x) = \int_0^\infty 2e^{-(2x+y)} \, dy = 2e^{-2x} \int_0^\infty e^{-y} \, dy = 2e^{-2x}, \quad x > 0 \]
- 对于 $Y$： \[ f_Y(y) = \int_0^\infty 2e^{-(2x+y)} \, dx = 2e^{-y} \int_0^\infty e^{-2x} \, dx = e^{-y}, \quad y > 0 \]
步骤 2：判断独立性
\[ f(x,y) = 2e^{-(2x+y)} = f_X(x) \cdot f_Y(y), \quad x > 0, y > 0 \]
- 对于 $X$： \[ f_X(x) = \int_0^\infty 2e^{-(2x+y)} \, dy = 2e^{-2x} \int_0^\infty e^{-y} \, dy = 2e^{-2x}, \quad x > 0 \]
- 对于 $Y$： \[ f_Y(y) = \int_0^\infty 2e^{-(2x+y)} \, dx = 2e^{-y} \int_0^\infty e^{-2x} \, dx = e^{-y}, \quad y > 0 \]
步骤 2：判断独立性
\[ f(x,y) = 2e^{-(2x+y)} = f_X(x) \cdot f_Y(y), \quad x > 0, y > 0 \]