设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为-|||-f(x,y)= 其他.-|||-(e)^-(2x+4y),xgt 0 gt 0,-|||-0,-|||-求:(1)常数c;(2) (Xgeqslant Y).

步骤 1：求常数c
根据联合密度函数的性质，联合密度函数在整个定义域上的积分应等于1。即
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1
$$
由于f(x,y)在x>0,y>0时为$c{e}^{-(2x+4y)}$，在其他区域为0，因此积分范围为x从0到正无穷，y从0到正无穷。所以有
$$
\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}c{e}^{-(2x+4y)}dxdy=1
$$
步骤 2：计算二重积分
将二重积分拆分为两个单积分的乘积，即
$$
\int_{0}^{+\infty}c{e}^{-2x}dx\int_{0}^{+\infty}{e}^{-4y}dy=1
$$
步骤 3：求解c
计算两个单积分，得到
$$
c\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=1
$$
解得c=8。
步骤 4：求$P(X\geqslant Y)$
根据联合密度函数，$P(X\geqslant Y)$等于在x>=y区域上的联合密度函数的积分，即
$$
P(X\geqslant Y)=\int_{0}^{+\infty}\int_{y}^{+\infty}8{e}^{-(2x+4y)}dxdy
$$
步骤 5：计算二重积分
将二重积分拆分为两个单积分的乘积，即
$$
\int_{0}^{+\infty}8{e}^{-4y}dy\int_{y}^{+\infty}{e}^{-2x}dx
$$
步骤 6：求解$P(X\geqslant Y)$
计算两个单积分，得到
$$
P(X\geqslant Y)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}
$$