题目
[题目]设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为-|||-3,向量 overrightarrow ({a)_(1)}=((-1,2,-1))^T, overrightarrow ({e)_(2)}=(0,-1,1)-|||-T是线性方程组 Ax=0 的两个解.-|||-(1)求A的特征值与特征向量;-|||-(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 ^TAQ=-|||-A;-|||-(Ⅲ)求A及 ((A-dfrac {3)(2)E)}^6, 其中E为3阶单位矩阵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求A的特征值与特征向量
由于 $\overrightarrow {{\alpha }_{1}}=(-1,2,-1)$ 和 $\overrightarrow {{\alpha }_{2}}=(0,-1,1)$ 是线性方程组 Ax=0 的两个解，所以它们是矩阵A的特征向量，对应的特征值为0。因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 $\lambda =3$ 是矩阵A的特征值，对应的特征向量为 $\alpha =(1,1,1)$ T。因此，矩阵A的特征值为0（二重）和3，对应的特征向量分别为 $\overrightarrow {{\alpha }_{1}}$，$\overrightarrow {{\alpha }_{2}}$ 和 $\alpha$。
步骤 2：求正交矩阵Q和对角矩阵A
将 $\overrightarrow {{\alpha }_{1}}$，$\overrightarrow {{\alpha }_{2}}$ 和 $\alpha$ 正交化，得到 $\beta_1$，$\beta_2$ 和 $\beta_3$。再将 $\beta_1$，$\beta_2$ 和 $\beta_3$ 单位化，得到 $m_1$，$m_2$ 和 $m_3$。令 $Q=[m_1, m_2, m_3]$，则 $Q^{-1}=Q^T$。由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 ${Q}^{T}AQ=[ \begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] =A$。
步骤 3：求A及 ${(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}$
由(Ⅱ)知：${Q}^{T}AQ=[ \begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] =A$。所以 $A=Q[ \begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] Q^T$。又因为 ${(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}={Q}^{T}{(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}Q={[ {Q}^{T}(A-\dfrac {3}{2}E)Q] }^{6}={CQ}^{T}$，所以 ${(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}={Q}^{T}[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& -\dfrac {3}{2}& 0\\ 0& 0& -\dfrac {3}{2}\end{matrix} ]^{6}Q$。
由于 $\overrightarrow {{\alpha }_{1}}=(-1,2,-1)$ 和 $\overrightarrow {{\alpha }_{2}}=(0,-1,1)$ 是线性方程组 Ax=0 的两个解，所以它们是矩阵A的特征向量，对应的特征值为0。因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以 $\lambda =3$ 是矩阵A的特征值，对应的特征向量为 $\alpha =(1,1,1)$ T。因此，矩阵A的特征值为0（二重）和3，对应的特征向量分别为 $\overrightarrow {{\alpha }_{1}}$，$\overrightarrow {{\alpha }_{2}}$ 和 $\alpha$。
步骤 2：求正交矩阵Q和对角矩阵A
将 $\overrightarrow {{\alpha }_{1}}$，$\overrightarrow {{\alpha }_{2}}$ 和 $\alpha$ 正交化，得到 $\beta_1$，$\beta_2$ 和 $\beta_3$。再将 $\beta_1$，$\beta_2$ 和 $\beta_3$ 单位化，得到 $m_1$，$m_2$ 和 $m_3$。令 $Q=[m_1, m_2, m_3]$，则 $Q^{-1}=Q^T$。由A是实对称矩阵必可相似对角化，得 ${Q}^{T}AQ=[ \begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] =A$。
步骤 3：求A及 ${(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}$
由(Ⅱ)知：${Q}^{T}AQ=[ \begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] =A$。所以 $A=Q[ \begin{matrix} 3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ] Q^T$。又因为 ${(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}={Q}^{T}{(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}Q={[ {Q}^{T}(A-\dfrac {3}{2}E)Q] }^{6}={CQ}^{T}$，所以 ${(A-\dfrac {3}{2}E)}^{6}={Q}^{T}[ \begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& -\dfrac {3}{2}& 0\\ 0& 0& -\dfrac {3}{2}\end{matrix} ]^{6}Q$。