题目
某工厂生产两种型号的元件，其产量分别为件和件，总成本函数为 （万元）若某市场需两种元件共16件，试问如何安排生产，方使总成本最少？最小成本为多少？
某工厂生产两种型号的元件，其产量分别为
件和
件，总成本函数为
（万元）
若某市场需两种元件共16件，试问如何安排生产，方使总成本最少？最小成本为多少？
题目解答
答案
解：由题可得：
则
将上述式子代入总成本函数式子：
即可得出：
由一元函数的极值存在的必要条件
得：
解得：驻点
再求二阶导数：
，
所以一阶导数
单调递增，
即函数
先递减再递增。
所以驻点为极小值点。
因此，在,
时，函数有最小值。
代入到式子中得：最小成本为
（万元）
综上所述：当,时，总成本最少，最小成本为
万元。
解析
步骤 1：确定约束条件
根据题意，两种型号的元件总产量为16件，即$x+y=16$。由此可得$y=16-x$。
步骤 2：代入总成本函数
将$y=16-x$代入总成本函数$C(x,y)={x}^{2}+2{y}^{2}-xy+5$，得到$C(x)=4{x}^{2}-80x+517$。
步骤 3：求导数
对$C(x)$求一阶导数，得到$C'(x)=8x-80$。令$C'(x)=0$，解得$x=10$。
步骤 4：验证极值点
对$C(x)$求二阶导数，得到$C''(x)=8$。因为$C''(x)>0$，所以$x=10$是极小值点。
步骤 5：计算最小成本
将$x=10$代入$y=16-x$，得到$y=6$。将$x=10$和$y=6$代入总成本函数$C(x,y)$，得到最小成本$C(10,6)=117$万元。
根据题意，两种型号的元件总产量为16件，即$x+y=16$。由此可得$y=16-x$。
步骤 2：代入总成本函数
将$y=16-x$代入总成本函数$C(x,y)={x}^{2}+2{y}^{2}-xy+5$，得到$C(x)=4{x}^{2}-80x+517$。
步骤 3：求导数
对$C(x)$求一阶导数，得到$C'(x)=8x-80$。令$C'(x)=0$，解得$x=10$。
步骤 4：验证极值点
对$C(x)$求二阶导数，得到$C''(x)=8$。因为$C''(x)>0$，所以$x=10$是极小值点。
步骤 5：计算最小成本
将$x=10$代入$y=16-x$，得到$y=6$。将$x=10$和$y=6$代入总成本函数$C(x,y)$，得到最小成本$C(10,6)=117$万元。