题目
设 gt 0, 则 =3-3x-dfrac (1)(x) 的最大值是 ()-|||-A.3 B. -3sqrt (2) C. -2sqrt (3) D. -1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数形式
给定函数 $y=3-3x-\dfrac {1}{x}$，其中 $x\gt 0$。这是一个关于 $x$ 的函数，我们需要找到它的最大值。
步骤 2：应用均值不等式
由于 $x\gt 0$，我们可以应用均值不等式来找到 $3x+\dfrac {1}{x}$ 的最小值。均值不等式表明，对于所有正数 $a$ 和 $b$，有 $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。因此，$3x+\dfrac {1}{x} \geq 2\sqrt{3x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2\sqrt{3}$，等号成立当且仅当 $3x=\dfrac{1}{x}$，即 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
步骤 3：计算最大值
根据步骤 2，$3x+\dfrac {1}{x}$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$，因此 $y=3-(3x+\dfrac {1}{x})$ 的最大值为 $3-2\sqrt{3}$。当 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 时，$y$ 取得最大值。
给定函数 $y=3-3x-\dfrac {1}{x}$，其中 $x\gt 0$。这是一个关于 $x$ 的函数，我们需要找到它的最大值。
步骤 2：应用均值不等式
由于 $x\gt 0$，我们可以应用均值不等式来找到 $3x+\dfrac {1}{x}$ 的最小值。均值不等式表明，对于所有正数 $a$ 和 $b$，有 $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。因此，$3x+\dfrac {1}{x} \geq 2\sqrt{3x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2\sqrt{3}$，等号成立当且仅当 $3x=\dfrac{1}{x}$，即 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
步骤 3：计算最大值
根据步骤 2，$3x+\dfrac {1}{x}$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$，因此 $y=3-(3x+\dfrac {1}{x})$ 的最大值为 $3-2\sqrt{3}$。当 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 时，$y$ 取得最大值。