题目
求下列极限lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {2x+1)-3}(sqrt {x-2)-sqrt (2)}
求下列极限
题目解答
答案
计算
我们可以通过将表达式乘以其共轭来消除分子和分母中的平方根。这就是所谓的"有理化"。这将得到：
可知该极限为
型极限，可使用洛必达法则
故
解析
步骤 1：有理化分子和分母
为了消除分子和分母中的平方根，我们分别乘以它们的共轭表达式。分子乘以 $\sqrt{2x+1}+3$，分母乘以 $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}$。这样可以得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {2x+1}-3}{\sqrt {x-2}-\sqrt {2}}\cdot \dfrac {\sqrt {2x+1}+3}{\sqrt {2x+1}+3}\cdot \dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}$$
步骤 2：化简表达式
分子和分母分别使用差平方公式化简，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x+1-9}{x-2-2}\cdot \dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {2x+1}+3}$$
化简后得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x-8}{x-4}\cdot \dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {2x+1}+3}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于该极限为0/0型极限，可以使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2}{1}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{3}$$
步骤 4：计算极限值
计算得到：
$$\dfrac {2\sqrt {2}}{3}$$
为了消除分子和分母中的平方根，我们分别乘以它们的共轭表达式。分子乘以 $\sqrt{2x+1}+3$，分母乘以 $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}$。这样可以得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {2x+1}-3}{\sqrt {x-2}-\sqrt {2}}\cdot \dfrac {\sqrt {2x+1}+3}{\sqrt {2x+1}+3}\cdot \dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}$$
步骤 2：化简表达式
分子和分母分别使用差平方公式化简，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x+1-9}{x-2-2}\cdot \dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {2x+1}+3}$$
化简后得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x-8}{x-4}\cdot \dfrac {\sqrt {x-2}+\sqrt {2}}{\sqrt {2x+1}+3}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于该极限为0/0型极限，可以使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2}{1}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{3}$$
步骤 4：计算极限值
计算得到：
$$\dfrac {2\sqrt {2}}{3}$$