求下列极限lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {2x+1)-3}(sqrt {x-2)-sqrt (2)}

考查要点：本题主要考查分式极限的求解方法，特别是处理分子分母均为根号表达式导致的0/0型不定式极限的能力。

解题核心思路：
当直接代入$x=4$导致分子分母均为0时，需通过有理化或洛必达法则消除不定式。本题的关键在于同时对分子和分母进行有理化处理，将根号表达式转化为多项式，从而简化极限计算。

破题关键点：

1. 识别0/0型不定式，确定适用有理化或洛必达法则。
2. 分子分母分别乘以共轭表达式，展开后约分化简。
3. 代入$x=4$计算最终结果。

步骤1：有理化处理
将分子$\sqrt{2x+1}-3$和分母$\sqrt{x-2}-\sqrt{2}$分别乘以各自的共轭：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {\sqrt {2x+1}-3}{\sqrt {x-2}-\sqrt {2}} &= \lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {(\sqrt {2x+1}-3)(\sqrt {2x+1}+3)(\sqrt {x-2}+\sqrt {2})}{(\sqrt {x-2}-\sqrt {2})(\sqrt {x-2}+\sqrt {2})(\sqrt {2x+1}+3)} \\&= \lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {(2x+1-9)(\sqrt {x-2}+\sqrt {2})}{(x-2-2)(\sqrt {2x+1}+3)}.\end{aligned}$

步骤2：化简表达式
分子$2x+1-9=2x-8$，分母$x-2-2=x-4$，约分后：
$\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2(x-4)(\sqrt {x-2}+\sqrt {2})}{(x-4)(\sqrt {2x+1}+3)} = \lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2(\sqrt {x-2}+\sqrt {2})}{\sqrt {2x+1}+3}.$

步骤3：代入计算
将$x=4$代入化简后的表达式：
$\dfrac {2(\sqrt{4-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{2\cdot4+1}+3} = \dfrac {2(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{3+3} = \dfrac {4\sqrt{2}}{6} = \dfrac {2\sqrt{2}}{3}.$