题目
16.（20.0分）10.设}x_(1)+x_(2)+kx_(3)=4-x_(1)+kx_(2)+x_(3)=k^2,x_(1)-x_(2)+2x_(3)=-4，问方程组什么时候有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷解时，求出一般解.
16.（20.0分）
10.设$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+kx_{3}=4\\-x_{1}+kx_{2}+x_{3}=k^{2},\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-4\end{cases}$，问方程组什么时候有唯一解、无解、有无穷多解？
并在有无穷解时，求出一般解.
题目解答
答案
1. **唯一解**：当系数矩阵行列式 $\det(A) = -(k-4)(k+1) \neq 0$，即 $k \neq -1$ 且 $k \neq 4$ 时，方程组有唯一解。
2. **无解**：当 $k = -1$ 时，增广矩阵出现矛盾行（如 $0=5$），方程组无解。
3. **无穷多解**：当 $k = 4$ 时，$R(A) = R(B) = 2 < 3$，方程组有无穷多解。通解为：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R}
}
\]
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造方程组的增广矩阵如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k & 4 \\ -1 & k & 1 & k^2 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算系数矩阵的行列式 $\det(A)$，其中系数矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ -1 & k & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]
行列式计算如下：
\[ \det(A) = 1 \cdot (k \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + k \cdot (-1 \cdot (-1) - k \cdot 1) \]
\[ = 1 \cdot (2k + 1) - 1 \cdot (-2 - 1) + k \cdot (1 - k) \]
\[ = 2k + 1 + 3 + k - k^2 \]
\[ = -k^2 + 3k + 4 \]
\[ = -(k^2 - 3k - 4) \]
\[ = -(k-4)(k+1) \]
步骤 3：分析方程组解的情况
1. 当 $\det(A) \neq 0$，即 $k \neq -1$ 且 $k \neq 4$ 时，方程组有唯一解。
2. 当 $\det(A) = 0$，即 $k = -1$ 或 $k = 4$ 时，需要进一步分析增广矩阵的秩。
- 当 $k = -1$ 时，增广矩阵为：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 4 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \]
通过行变换，可以发现存在矛盾行，因此方程组无解。
- 当 $k = 4$ 时，增广矩阵为：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 \\ -1 & 4 & 1 & 16 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \]
通过行变换，可以发现方程组有无穷多解，通解为：
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R} \]
构造方程组的增广矩阵如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k & 4 \\ -1 & k & 1 & k^2 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算行列式
计算系数矩阵的行列式 $\det(A)$，其中系数矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ -1 & k & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]
行列式计算如下：
\[ \det(A) = 1 \cdot (k \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + k \cdot (-1 \cdot (-1) - k \cdot 1) \]
\[ = 1 \cdot (2k + 1) - 1 \cdot (-2 - 1) + k \cdot (1 - k) \]
\[ = 2k + 1 + 3 + k - k^2 \]
\[ = -k^2 + 3k + 4 \]
\[ = -(k^2 - 3k - 4) \]
\[ = -(k-4)(k+1) \]
步骤 3：分析方程组解的情况
1. 当 $\det(A) \neq 0$，即 $k \neq -1$ 且 $k \neq 4$ 时，方程组有唯一解。
2. 当 $\det(A) = 0$，即 $k = -1$ 或 $k = 4$ 时，需要进一步分析增广矩阵的秩。
- 当 $k = -1$ 时，增广矩阵为：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 4 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \]
通过行变换，可以发现存在矛盾行，因此方程组无解。
- 当 $k = 4$ 时，增广矩阵为：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 4 \\ -1 & 4 & 1 & 16 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix} \]
通过行变换，可以发现方程组有无穷多解，通解为：
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R} \]