求极限underset(lim)(x→0)(（1-cosx）[x-ln（1+tanx）])/(si(n)^4x)．

步骤 1：等价无穷小替换
由于当$x→0$时，$1-cosx$与$\frac{1}{2}x^{2}$是等价无穷小，$sin^{4}x$与$x^{4}$是等价无穷小，因此可以将原极限中的$1-cosx$替换为$\frac{1}{2}x^{2}$，$sin^{4}x$替换为$x^{4}$。
步骤 2：简化极限表达式
将步骤1中的等价无穷小替换代入原极限表达式，得到$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}[x-ln（1+tanx）]}{x^{4}}$，进一步简化为$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x-ln（1+tanx）}{2x^{2}}$。
步骤 3：洛必达法则
由于$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x-ln（1+tanx）}{2x^{2}}$是$\frac{0}{0}$型不定式，可以使用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，得到$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-\frac{se{c}^{2}x}{1+tanx}}{4x}$。
步骤 4：再次使用洛必达法则
由于$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-\frac{se{c}^{2}x}{1+tanx}}{4x}$仍然是$\frac{0}{0}$型不定式，再次使用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到$\underset{lim}{x→0}$$\frac{se{c}^{2}x-2se{c}^{2}xtanx}{4}$。
步骤 5：计算极限值
将$x=0$代入步骤4中的极限表达式，得到$\frac{1}{4}$。