设X和Y相互独立,X在(0,2)上服从均匀分布,Y服从参数为lambda =dfrac (1)(2)的指数分布,设关于t的二次方程lambda =dfrac (1)(2),则t有实根的概率为( )(答案用小数表示,保留小数点后三位)注:lambda =dfrac (1)(2)(1) =0.8413 lambda =dfrac (1)(2) (2) =0.9772

步骤 1：确定方程有实根的条件
二次方程${t}^{2}+2Xt+Y=0$有实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$，即$(2X)^2 - 4Y \geq 0$，简化后得到$X^2 \geq Y$。
步骤 2：计算X和Y的分布
X在(0,2)上服从均匀分布，其概率密度函数为$f_X(x) = \frac{1}{2}$，$0 \leq x \leq 2$。
Y服从参数为$\lambda = \frac{1}{2}$的指数分布，其概率密度函数为$f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}$，$y \geq 0$。
步骤 3：计算概率
由于X和Y相互独立，所以$X^2 \geq Y$的概率可以通过计算二重积分得到，即$P(X^2 \geq Y) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{x^2} f_X(x)f_Y(y) dy dx$。
步骤 4：计算二重积分
$P(X^2 \geq Y) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{x^2} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}} dy dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{4} (1 - e^{-\frac{x^2}{2}}) dx$。
步骤 5：计算积分
$P(X^2 \geq Y) = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (1 - e^{-\frac{x^2}{2}}) dx = \frac{1}{4} [x + \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_{0}^{2}$。
步骤 6：代入数值
$P(X^2 \geq Y) = \frac{1}{4} [2 + \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \text{erf}(\sqrt{2})] = \frac{1}{4} [2 + \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot 0.9772] = 0.559$。