题目
12 设L是曲面∑:z=y^2+x^3y上一条曲线的切线，切点为P(2,1,9)，L在xOy面上的投影平行于x轴，求切线L的参数方程.
12 设L是曲面$∑:z=y^{2}+x^{3}y$上一条曲线的切线，切点为P(2,1,9)，L在xOy面上的投影平行于x轴，求切线L的参数方程.
题目解答
答案
1. **求曲面在点 $P(2,1,9)$ 处的法向量**：
定义 $F(x,y,z) = y^2 + x^3y - z$，计算梯度 $\nabla F = (12, 10, -1)$。
2. **求切平面方程**：
切平面方程为 $12(x-2) + 10(y-1) - (z-9) = 0$，化简得 $12x + 10y - z - 25 = 0$。
3. **确定切线方向向量**：
切线在平面 $y=1$ 上，与切平面法向量 $(12,10,-1)$ 叉乘平面法向量 $(0,1,0)$，得方向向量 $(1,0,12)$。
4. **写出参数方程**：
过点 $P(2,1,9)$，方向向量为 $(1,0,12)$，参数方程为：
\[
\boxed{\begin{cases}
x = 2 + t, \\
y = 1, \\
z = 9 + 12t.
\end{cases}}
\]