题目
1.[单选题] 函数z=2x^2+3y^2+4x-8在闭区域D:x^2+y^2leq4上的最大值是（）.A. 6B. 8C. 10D. 12
1.[单选题] 函数$z=2x^{2}+3y^{2}+4x-8$在闭区域$D:x^{2}+y^{2}\leq4$上的最大值是（）.
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
题目解答
答案
B. 8
解析
步骤 1：求内部临界点
计算偏导数并令其为零：\[ z_x = 4x + 4 = 0 \implies x = -1, \quad z_y = 6y = 0 \implies y = 0 \] 代入函数得：\[ z(-1, 0) = -10 \]
步骤 2：分析边界
边界为 $x^2 + y^2 = 4$，令 $y^2 = 4 - x^2$，代入函数得：\[ z = -4x^2 + 8x + 4 \] 求导并令其为零：\[ f'(x) = -8x + 8 = 0 \implies x = 1 \] 对应 $y = 0$，代入得最大值：\[ z(2, 0) = 8 \]
步骤 3：比较值
内部临界点值为 $-10$，边界最大值为 $8$，故最大值为 $8$。
计算偏导数并令其为零：\[ z_x = 4x + 4 = 0 \implies x = -1, \quad z_y = 6y = 0 \implies y = 0 \] 代入函数得：\[ z(-1, 0) = -10 \]
步骤 2：分析边界
边界为 $x^2 + y^2 = 4$，令 $y^2 = 4 - x^2$，代入函数得：\[ z = -4x^2 + 8x + 4 \] 求导并令其为零：\[ f'(x) = -8x + 8 = 0 \implies x = 1 \] 对应 $y = 0$，代入得最大值：\[ z(2, 0) = 8 \]
步骤 3：比较值
内部临界点值为 $-10$，边界最大值为 $8$，故最大值为 $8$。