(4)已知四阶方阵 =((a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)), 且α1,α2,α 3线性无关, _(4)=2(a)_(1)-(a)_(2),-|||-则方程组 Ax=0 的通解为 __ ;

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组的基础解系及通解的求解，涉及向量组的线性相关性、矩阵的秩与解空间维数的关系。

解题核心思路：

1. 确定矩阵的秩：由已知条件，列向量$a_1, a_2, a_3$线性无关，而$a_4$可由$a_1, a_2$线性表示，因此矩阵$A$的秩为3。
2. 解空间的维数：根据秩-零化度定理，解空间的维数为$4 - 3 = 1$，即通解为一个基础解向量的线性组合。
3. 构造基础解系：通过分析方程组的约束条件，找到自由变量并表示解向量。

破题关键点：

• 利用$a_4$的表达式：将$a_4 = 2a_1 - a_2$代入方程组，建立关于$x_1, x_2, x_3, x_4$的线性关系。
• 确定自由变量：选择$x_4$为自由变量，用其表示其他变量，最终得到基础解向量。

步骤1：分析矩阵的秩
已知$a_1, a_2, a_3$线性无关，故矩阵$A$的秩至少为3。又$a_4 = 2a_1 - a_2$，说明$a_4$可由$a_1, a_2$线性表示，因此矩阵$A$的秩仍为3。

步骤2：建立方程组
齐次方程组$Ax = 0$可展开为：
$x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = 0.$
将$a_4 = 2a_1 - a_2$代入，得：
$x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 (2a_1 - a_2) = 0.$
整理同类项：
$(x_1 + 2x_4) a_1 + (x_2 - x_4) a_2 + x_3 a_3 = 0.$

步骤3：利用线性无关性
由于$a_1, a_2, a_3$线性无关，其系数必须全为0：
$\begin{cases}x_1 + 2x_4 = 0, \\x_2 - x_4 = 0, \\x_3 = 0.\end{cases}$

步骤4：求解变量关系
令自由变量$x_4 = k$，则：
$x_1 = -2k, \quad x_2 = k, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = k.$
解向量为：
$\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{pmatrix} = k \begin{pmatrix}-2 \\1 \\0 \\1\end{pmatrix}.$

步骤5：调整基础解向量
为简化形式，可取$k' = -k$，则解向量等价表示为：
$k' \begin{pmatrix}2 \\-1 \\0 \\-1\end{pmatrix},$
其中$k' \in \mathbb{R}$。