题目
本题分数 8分-|||-二.设有白球黑球各4只,从中任取4只放入甲盒,余下的4-|||-只放入乙盒,然后分别在两盒中各任取1球。求:-|||-得 分-|||-(1)取出两球颜色正好相同的概率;-|||-(2)若取出两球颜色正好相同,求放入甲盒的4只球中恰有2只白球的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算甲盒中不同黑球数量的概率
- 甲盒中全为黑球的概率：$P_1 = \frac{1}{\binom{8}{4}} = \frac{1}{70}$
- 甲盒中只有一个黑球的概率：$P_2 = \frac{\binom{4}{1} \binom{4}{3}}{\binom{8}{4}} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$
- 甲盒中有两个黑球的概率：$P_3 = \frac{\binom{4}{2} \binom{4}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{36}{70} = \frac{18}{35}$
- 甲盒中有三个黑球的概率：$P_4 = \frac{\binom{4}{3} \binom{4}{1}}{\binom{8}{4}} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$
- 甲盒中全为白球的概率：$P_5 = \frac{1}{\binom{8}{4}} = \frac{1}{70}$
步骤 2：计算在甲盒中不同黑球数量时，取出两球颜色相同的概率
- 甲盒中全为黑球时，无法取出相同颜色的球，概率为0
- 甲盒中只有一个黑球时，取出两球颜色相同的概率为$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
- 甲盒中有两个黑球时，取出两球颜色相同的概率为$\frac{2}{4} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
- 甲盒中有三个黑球时，取出两球颜色相同的概率为$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
- 甲盒中全为白球时，无法取出相同颜色的球，概率为0
步骤 3：计算取出两球颜色相同的总概率
- 总概率$P = P_2 \times \frac{9}{16} + P_3 \times \frac{1}{2} + P_4 \times \frac{9}{16} = \frac{8}{35} \times \frac{9}{16} + \frac{18}{35} \times \frac{1}{2} + \frac{8}{35} \times \frac{9}{16} = \frac{3}{7}$
步骤 4：计算在取出两球颜色相同的情况下，甲盒中恰有2只白球的概率
- 甲盒中恰有2只白球的概率为$P_3 = \frac{18}{35}$
- 取出两球颜色相同的概率为$P = \frac{3}{7}$
- 甲盒中恰有2只白球且取出两球颜色相同的概率为$P_3 \times \frac{1}{2} = \frac{18}{35} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{35}$
- 所求概率为$\frac{\frac{9}{35}}{\frac{3}{7}} = \frac{3}{5}$
- 甲盒中全为黑球的概率：$P_1 = \frac{1}{\binom{8}{4}} = \frac{1}{70}$
- 甲盒中只有一个黑球的概率：$P_2 = \frac{\binom{4}{1} \binom{4}{3}}{\binom{8}{4}} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$
- 甲盒中有两个黑球的概率：$P_3 = \frac{\binom{4}{2} \binom{4}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{36}{70} = \frac{18}{35}$
- 甲盒中有三个黑球的概率：$P_4 = \frac{\binom{4}{3} \binom{4}{1}}{\binom{8}{4}} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$
- 甲盒中全为白球的概率：$P_5 = \frac{1}{\binom{8}{4}} = \frac{1}{70}$
步骤 2：计算在甲盒中不同黑球数量时，取出两球颜色相同的概率
- 甲盒中全为黑球时，无法取出相同颜色的球，概率为0
- 甲盒中只有一个黑球时，取出两球颜色相同的概率为$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
- 甲盒中有两个黑球时，取出两球颜色相同的概率为$\frac{2}{4} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
- 甲盒中有三个黑球时，取出两球颜色相同的概率为$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$
- 甲盒中全为白球时，无法取出相同颜色的球，概率为0
步骤 3：计算取出两球颜色相同的总概率
- 总概率$P = P_2 \times \frac{9}{16} + P_3 \times \frac{1}{2} + P_4 \times \frac{9}{16} = \frac{8}{35} \times \frac{9}{16} + \frac{18}{35} \times \frac{1}{2} + \frac{8}{35} \times \frac{9}{16} = \frac{3}{7}$
步骤 4：计算在取出两球颜色相同的情况下，甲盒中恰有2只白球的概率
- 甲盒中恰有2只白球的概率为$P_3 = \frac{18}{35}$
- 取出两球颜色相同的概率为$P = \frac{3}{7}$
- 甲盒中恰有2只白球且取出两球颜色相同的概率为$P_3 \times \frac{1}{2} = \frac{18}{35} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{35}$
- 所求概率为$\frac{\frac{9}{35}}{\frac{3}{7}} = \frac{3}{5}$