题目

计算下列定积分：(int )_(0)^pi (1-(sin )^3theta )dtheta

计算下列定积分： $\int_0^{\pi}\left(1-\sin^3\theta\right)d\theta$

题目解答

答案

解： $\int_0^{\pi}\left(1-\sin^3\theta\right)d\theta=\pi-\int_0^{\pi}\sin\theta\left(\sin^2\theta\right)d\theta=\pi-\int_0^{\pi}-\left(1-\cos^2\theta\right)d\cos\theta$

$=\pi+\int_0^{\pi}\left(1-\cos^2\theta\right)d\cos\theta=\pi+\int_1^{-1}\left(1-t^2\right)dt$

$=\pi+\int_1^{-1}\left(1-t^2\right)dt=\pi-\frac{4}{3}$

解析

步骤 1：将被积函数分解
将被积函数 $1-\sin^3\theta$ 分解为 $1-\sin\theta(1-\cos^2\theta)$，以便于积分。
步骤 2：进行变量替换
令 $t=\cos\theta$，则 $dt=-\sin\theta d\theta$，从而将原积分转化为关于 $t$ 的积分。
步骤 3：计算积分
计算关于 $t$ 的积分，并将积分结果转化为关于 $\theta$ 的表达式。
步骤 4：计算定积分
将积分结果代入定积分的上下限，计算定积分的值。