16.玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1和0.1.一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而顾客开箱随意查看其中的4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.求：(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中确实没有残次品的概率.
题目解答
答案
设事件如下：
- $A_0$：箱中无残次品（概率 $P(A_0) = 0.8$）
- $A_1$：箱中1个残次品（概率 $P(A_1) = 0.1$）
- $A_2$：箱中2个残次品（概率 $P(A_2) = 0.1$）
- $B$：顾客买下该箱（即查看的4只中无残次品）
（1）顾客买下该箱的概率 $P(B)$
使用全概率公式：
$P(B) = P(B|A_0)P(A_0) + P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$
其中：
- $P(B|A_0) = 1$
- $P(B|A_1) = \frac{\binom{19}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{4}{5}$
- $P(B|A_2) = \frac{\binom{18}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{12}{19}$
代入得：
$P(B) = 1 \times 0.8 + \frac{4}{5} \times 0.1 + \frac{12}{19} \times 0.1 = 0.8 + 0.08 + \frac{1.2}{19} = \frac{448}{475}$
（2）顾客买下后无残次品的概率 $P(A_0|B)$
使用贝叶斯定理：
$P(A_0|B) = \frac{P(A_0)P(B|A_0)}{P(B)} = \frac{0.8 \times 1}{\frac{448}{475}} = \frac{95}{112}$
答案：
(1) $\boxed{\frac{448}{475}}$（约0.9432）
(2) $\boxed{\frac{95}{112}}$（约0.8482）
解析
考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的计算。
解题思路：
- 分类讨论：根据箱中残次品数量（0、1、2只）分情况讨论顾客买下的概率。
- 全概率公式：将买下的总概率分解为三种情况下的条件概率之和。
- 贝叶斯定理：在买下的条件下，计算箱中无残次品的后验概率。
关键点：
- 组合数计算：正确计算从不同数量的好杯子中抽取4只的组合数。
- 条件概率转换：明确“买下”与“无残次品”的逻辑关系，建立条件概率表达式。
事件定义
- $A_0$：箱中无残次品（概率 $P(A_0) = 0.8$）
- $A_1$：箱中1个残次品（概率 $P(A_1) = 0.1$）
- $A_2$：箱中2个残次品（概率 $P(A_2) = 0.1$）
- $B$：顾客买下该箱（即查看的4只中无残次品）
(1) 顾客买下该箱的概率 $P(B)$
全概率公式：
$P(B) = P(B|A_0)P(A_0) + P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$
分步计算
-
当箱中无残次品（$A_0$）
顾客查看的4只必为好杯子，故：
$P(B|A_0) = 1$ -
当箱中1个残次品（$A_1$）
好杯子有19只，从19只中选4只：
$P(B|A_1) = \frac{\binom{19}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{3876}{4845} = \frac{4}{5}$ -
当箱中2个残次品（$A_2$）
好杯子有18只，从18只中选4只：
$P(B|A_2) = \frac{\binom{18}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{3060}{4845} = \frac{12}{19}$ -
代入全概率公式
$P(B) = 1 \times 0.8 + \frac{4}{5} \times 0.1 + \frac{12}{19} \times 0.1 = 0.8 + 0.08 + \frac{1.2}{19} = \frac{448}{475}$
(2) 买下后无残次品的概率 $P(A_0|B)$
贝叶斯定理：
$P(A_0|B) = \frac{P(A_0)P(B|A_0)}{P(B)} = \frac{0.8 \times 1}{\frac{448}{475}} = \frac{0.8 \times 475}{448} = \frac{95}{112}$