5.设 =arctan (xy), 而 =(e)^x, 求 dfrac (dz)(dx).

考查要点：本题主要考查多元复合函数的求导法则，特别是链式法则的应用。需要理解函数之间的依赖关系，正确计算偏导数并进行合成。

解题核心思路：

1. 识别变量关系：明确$z$是$x$和$y$的函数，而$y$本身是$x$的函数，形成复合关系。
2. 应用链式法则：将$\dfrac{dz}{dx}$分解为$\dfrac{\partial z}{\partial x}$和$\dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dx}$两部分。
3. 代入并化简：将$y = e^x$代入表达式，合并同类项，得到最终结果。

破题关键点：

• 正确计算偏导数：对$\arctan(xy)$分别求关于$x$和$y$的偏导数。
• 注意分母的统一：合并两项时需保持分母一致，避免计算错误。

步骤1：计算$\dfrac{\partial z}{\partial x}$
由$z = \arctan(xy)$，对$x$求偏导：
$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{1}{1 + (xy)^2} \cdot y = \dfrac{y}{1 + x^2 y^2}$

步骤2：计算$\dfrac{\partial z}{\partial y}$
对$y$求偏导：
$\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{1}{1 + (xy)^2} \cdot x = \dfrac{x}{1 + x^2 y^2}$

步骤3：计算$\dfrac{dy}{dx}$
由$y = e^x$，得：
$\dfrac{dy}{dx} = e^x$

步骤4：合成$\dfrac{dz}{dx}$
根据链式法则：
$\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{\partial z}{\partial x} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{1 + x^2 y^2} + \dfrac{x}{1 + x^2 y^2} \cdot e^x$

步骤5：代入$y = e^x$并化简
将$y = e^x$代入：
$\dfrac{dz}{dx} = \dfrac{e^x}{1 + x^2 e^{2x}} + \dfrac{x e^x}{1 + x^2 e^{2x}} = \dfrac{(1 + x)e^x}{1 + x^2 e^{2x}}$