题目
25.设K在(0,5)内服从均匀分布，求x的方程 4x^2+4Kx+K+2=0有实根的概率.
25.设K在(0,5)内服从均匀分布，求x的方程
$ 4x^{2}+4Kx+K+2=0$
有实根的概率.
题目解答
答案
方程 $4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0$ 的判别式为：
\[
\Delta = 16K^2 - 16(K + 2) = 16(K^2 - K - 2) = 16(K - 2)(K + 1)
\]
为使方程有实根，需 $\Delta \geq 0$，即 $(K - 2)(K + 1) \geq 0$。解得 $K \leq -1$ 或 $K \geq 2$。
由于 $K$ 在 $(0, 5)$ 服从均匀分布，$K \leq -1$ 不可能，故只需考虑 $K \geq 2$。
区间 $[2, 5)$ 的长度为 $3$，总区间长度为 $5$，因此概率为：
\[
P(K \geq 2) = \frac{3}{5}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{3}{5}}$
解析
步骤 1：计算判别式
方程 $4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0$ 的判别式为： \[ \Delta = 16K^2 - 16(K + 2) = 16(K^2 - K - 2) = 16(K - 2)(K + 1) \] 为使方程有实根，需 $\Delta \geq 0$，即 $(K - 2)(K + 1) \geq 0$。
步骤 2：求解不等式
解不等式 $(K - 2)(K + 1) \geq 0$，得到 $K \leq -1$ 或 $K \geq 2$。由于 $K$ 在 $(0, 5)$ 服从均匀分布，$K \leq -1$ 不可能，故只需考虑 $K \geq 2$。
步骤 3：计算概率
区间 $[2, 5)$ 的长度为 $3$，总区间长度为 $5$，因此概率为： \[ P(K \geq 2) = \frac{3}{5} \]
方程 $4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0$ 的判别式为： \[ \Delta = 16K^2 - 16(K + 2) = 16(K^2 - K - 2) = 16(K - 2)(K + 1) \] 为使方程有实根，需 $\Delta \geq 0$，即 $(K - 2)(K + 1) \geq 0$。
步骤 2：求解不等式
解不等式 $(K - 2)(K + 1) \geq 0$，得到 $K \leq -1$ 或 $K \geq 2$。由于 $K$ 在 $(0, 5)$ 服从均匀分布，$K \leq -1$ 不可能，故只需考虑 $K \geq 2$。
步骤 3：计算概率
区间 $[2, 5)$ 的长度为 $3$，总区间长度为 $5$，因此概率为： \[ P(K \geq 2) = \frac{3}{5} \]