题目
计算二重积分f[[xy+(x^2+y^2)^-5/2]da，其中f[[xy+(x^2+y^2)^-5/2]da是由直线f[[xy+(x^2+y^2)^-5/2]da,f[[xy+(x^2+y^2)^-5/2]da及圆弧f[[xy+(x^2+y^2)^-5/2]da所围成的区域.
计算二重积分
，其中
是由直线
,
及圆弧
所围成的区域.
题目解答
答案
解：
已知是由直线,及圆弧所围成的区域，在极坐标下计算较为简单，可得
.将
代入，
.
可列二重积分的表达式为：
.
所以，本题的答案为.
解析
步骤 1：确定积分区域
由题意，积分区域是由直线$x=0$，$y=1$及圆弧${x}^{2}+{y}^{2}=1(x\geqslant 0,y\geqslant 0)$所围成的区域。在极坐标下，该区域可以表示为$D=\{ (p,\theta )|\dfrac {\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2},1\leqslant p\leqslant \dfrac {1}{\sin \theta }\} $。
步骤 2：转换为极坐标
将$x=\rho \cos \theta $, $y=\rho \sin \theta $代入，$dxdy=\rho d\rho d\theta $。则原二重积分可以表示为：
$\iint [ xy+{({x}^{2}+{y}^{2})}^{-\dfrac {5}{2}}] do$
= $\iint [ \rho^2 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-5}] \rho d\rho d\theta$
= $\iint [ \rho^3 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-4}] d\rho d\theta$
步骤 3：计算二重积分
将积分区域代入，计算二重积分：
$\iint [ \rho^3 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-4}] d\rho d\theta$
= $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{\frac{1}{\sin \theta}} (\rho^3 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-4}) d\rho d\theta$
= $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\rho^4}{4} \cos \theta \sin \theta -\frac{\rho^{-3}}{3})|_{1}^{\frac{1}{\sin \theta}} d\theta$
= $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\cos \theta}{4\sin^3 \theta} -\frac{\sin^3 \theta}{3} -\frac{1}{4}\sin \theta \cos \theta +\frac{1}{3}) d\theta$
= $(-\frac{\cos^2 \theta}{8} +\frac{1}{3}\cos \theta -\frac{\cos^3 \theta}{9} +\frac{\cos 2\theta}{16} +\frac{\theta}{3})|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$
= $(-\frac{1}{16} +\frac{\pi}{6}) -(-\frac{1}{8} +\frac{\sqrt{2}}{6} -\frac{\sqrt{2}}{36} +\frac{\pi}{12})$
= $\frac{1}{16} +\frac{\pi}{12} -\frac{5\sqrt{2}}{36}$
由题意，积分区域是由直线$x=0$，$y=1$及圆弧${x}^{2}+{y}^{2}=1(x\geqslant 0,y\geqslant 0)$所围成的区域。在极坐标下，该区域可以表示为$D=\{ (p,\theta )|\dfrac {\pi }{4}\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2},1\leqslant p\leqslant \dfrac {1}{\sin \theta }\} $。
步骤 2：转换为极坐标
将$x=\rho \cos \theta $, $y=\rho \sin \theta $代入，$dxdy=\rho d\rho d\theta $。则原二重积分可以表示为：
$\iint [ xy+{({x}^{2}+{y}^{2})}^{-\dfrac {5}{2}}] do$
= $\iint [ \rho^2 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-5}] \rho d\rho d\theta$
= $\iint [ \rho^3 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-4}] d\rho d\theta$
步骤 3：计算二重积分
将积分区域代入，计算二重积分：
$\iint [ \rho^3 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-4}] d\rho d\theta$
= $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{\frac{1}{\sin \theta}} (\rho^3 \cos \theta \sin \theta +\rho^{-4}) d\rho d\theta$
= $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\rho^4}{4} \cos \theta \sin \theta -\frac{\rho^{-3}}{3})|_{1}^{\frac{1}{\sin \theta}} d\theta$
= $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\cos \theta}{4\sin^3 \theta} -\frac{\sin^3 \theta}{3} -\frac{1}{4}\sin \theta \cos \theta +\frac{1}{3}) d\theta$
= $(-\frac{\cos^2 \theta}{8} +\frac{1}{3}\cos \theta -\frac{\cos^3 \theta}{9} +\frac{\cos 2\theta}{16} +\frac{\theta}{3})|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$
= $(-\frac{1}{16} +\frac{\pi}{6}) -(-\frac{1}{8} +\frac{\sqrt{2}}{6} -\frac{\sqrt{2}}{36} +\frac{\pi}{12})$
= $\frac{1}{16} +\frac{\pi}{12} -\frac{5\sqrt{2}}{36}$