题目
45【判断题】(2分)判断：lim_(ntoinfty)u_(n)=0是级数sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛的必要条件而非充分条件.（）A. 错B. 对
45【判断题】(2分)
判断：$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$是级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛的必要条件而非充分条件.（）
A. 错
B. 对
题目解答
答案
B. 对
解析
步骤 1：必要性
若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛，其部分和$S_N$趋于有限极限$S$。则通项$u_n = S_n - S_{n-1}$在$n \to \infty$时趋于$S - S = 0$。故$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$是收敛的必要条件。
步骤 2：非充分性
考虑调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，其通项$\frac{1}{n} \to 0$，但级数发散（可用积分判别法证明）。因此，通项极限为零非收敛的充分条件。
若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛，其部分和$S_N$趋于有限极限$S$。则通项$u_n = S_n - S_{n-1}$在$n \to \infty$时趋于$S - S = 0$。故$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$是收敛的必要条件。
步骤 2：非充分性
考虑调和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，其通项$\frac{1}{n} \to 0$，但级数发散（可用积分判别法证明）。因此，通项极限为零非收敛的充分条件。