题目
设曲线 L 是任意不经过 y=0 的区域 D 内的曲线，为使曲线积分 int_(L) (x)/(y)(x^2 + y^2)^alpha dx - (x^2)/(y^2)(x^2 + y^2)^alpha dy 与路径无关，则 alpha=A. -1/2B. 1/3C. 5/2D. 3/2
设曲线 $L$ 是任意不经过 $y=0$ 的区域 $D$ 内的曲线，为使曲线积分 $\int_{L} \frac{x}{y}(x^2 + y^2)^\alpha dx - \frac{x^2}{y^2}(x^2 + y^2)^\alpha dy$ 与路径无关，则 $\alpha=$
A. $-1/2$
B. $1/3$
C. $5/2$
D. $3/2$
题目解答
答案
A. $-1/2$
解析
步骤 1：定义向量场
将曲线积分中的被积函数表示为向量场的分量，即 $P(x, y) = \frac{x}{y}(x^2 + y^2)^{\alpha}$ 和 $Q(x, y) = -\frac{x^2}{y^2}(x^2 + y^2)^{\alpha}$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $P(x, y)$ 关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $Q(x, y)$ 关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$。
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{x(x^2 + y^2)^{\alpha}}{y^2} + 2\alpha x y (x^2 + y^2)^{\alpha - 1}
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2x(x^2 + y^2)^{\alpha}}{y^2} - \frac{2\alpha x^3 (x^2 + y^2)^{\alpha - 1}}{y^2}
\]
步骤 3：使偏导数相等
为使曲线积分与路径无关，需要 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。将上面计算的偏导数代入并整理，得到：
\[
-(1 + 2\alpha)x^2 = y^2(1 + 2\alpha y)
\]
为使方程恒成立，需 $1 + 2\alpha = 0$，解得 $\alpha = -\frac{1}{2}$。
将曲线积分中的被积函数表示为向量场的分量，即 $P(x, y) = \frac{x}{y}(x^2 + y^2)^{\alpha}$ 和 $Q(x, y) = -\frac{x^2}{y^2}(x^2 + y^2)^{\alpha}$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $P(x, y)$ 关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $Q(x, y)$ 关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$。
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{x(x^2 + y^2)^{\alpha}}{y^2} + 2\alpha x y (x^2 + y^2)^{\alpha - 1}
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2x(x^2 + y^2)^{\alpha}}{y^2} - \frac{2\alpha x^3 (x^2 + y^2)^{\alpha - 1}}{y^2}
\]
步骤 3：使偏导数相等
为使曲线积分与路径无关，需要 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。将上面计算的偏导数代入并整理，得到：
\[
-(1 + 2\alpha)x^2 = y^2(1 + 2\alpha y)
\]
为使方程恒成立，需 $1 + 2\alpha = 0$，解得 $\alpha = -\frac{1}{2}$。