题目

设3阶矩阵 =((a)_(1),(a)_(2),(a)_(3)) 有3个不同的特征值,且 _(3)=(a)_(1)+2(a)_(2)-|||-(I)证明 (A)=2;-|||-(Ⅱ)若 beta =(alpha )_(1)+(alpha )_(2)+(alpha )_(3), 求方程组 =B 的通解.

题目解答

答案

解析

本题主要考查矩阵的秩、特征值、线性相关性、矩阵对角化以及线性方程组通解的相关知识。解题思路如下：

(I) 证明 $r(A)=2$

  1. 判断向量组的线性相关性：
    已知$\boldsymbol{a}_{3}=\boldsymbol{a}_{1}+2\boldsymbol{a}_{2}$，根据向量组线性相关的定义：若存在不全为零的数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\boldsymbol{a}_{1}+k_2\boldsymbol{a}_{2}+k_3\boldsymbol{a}_{3}=\boldsymbol{0}$，则向量组$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\boldsymbol{a}_{3}$线性相关。
    在这里$k_1 = 1,k_2 = 2,k_3=-1$，满足$1\times\boldsymbol{a}_{1}+2\times\boldsymbol{a}_{2}+(-1)\times\boldsymbol{a}_{3}=\boldsymbol{0}$，所以$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\boldsymbol{a}_{3}$线性相关。
    根据矩阵的秩与列向量组线性相关性的关系：矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由于$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\boldsymbol{a}_{3}$线性相关，所以$r(A)\leq2$。
  2. 利用特征值和矩阵对角化的性质：
    因为矩阵$A$有$3$个不同的特征值，根据矩阵可对角化的判定定理：$n$阶矩阵$A$有$n$个不同的特征值，则$A$可对角化。所以$A$能对角化。
    又因为不同特征值对应的特征向量线性无关，且$3$阶矩阵最多有$3$个线性无关的特征向量，而$A$有$3$个不同特征值，所以$A$至少有$2$个不为零的特征值。
    对于可对角化的矩阵$A$，其秩等于非零特征值的个数，所以$r(A)\geq2$。
  3. 得出结论：
    由$r(A)\leq2$且$r(A)\geq2$，可得$r(A)=2$。

(II) 求方程组 $Ax = \beta$ 的通解

  1. 求齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的基础解系：
    已知$\boldsymbol{a}_{1}+2\boldsymbol{a}_{2}-\boldsymbol{a}_{3}=\boldsymbol{0}$，将其写成矩阵形式$A\begin{pmatrix}1\\2\\ - 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}_{1}&\boldsymbol{a}_{2}&\boldsymbol{a}_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\ - 1\end{pmatrix}=\boldsymbol{a}_{1}+2\boldsymbol{a}_{2}-\boldsymbol{a}_{3}=\boldsymbol{0}$，所以$\xi=\begin{pmatrix}1\\2\\ - 1\end{pmatrix}$是方程组$Ax = 0$的一个解。
    因为$r(A)=2$，对于$n$元齐次线性方程组$Ax = 0$，其基础解系所含向量的个数为$n - r(A)$，这里$n = 3$，所以基础解系所含向量个数为$3 - 2 = 1$，故$\xi=\begin{pmatrix}1\\2\\ - 1\end{pmatrix}$为$Ax = 0$的一个基础解系。
  2. 求非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 的一个特解：
    已知$\beta=\boldsymbol{a}_{1}+\boldsymbol{a}_{2}+\boldsymbol{a}_{3}$，写成矩阵形式$\beta = A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，所以$\eta=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$是方程组$Ax = \beta$的一个特解。
  3. 求非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 的通解：
    根据非齐次线性方程组通解的结构：非齐次线性方程组$Ax = \beta$的通解等于它的一个特解加上对应的齐次线性方程组$Ax = 0$的通解。
    所以$Ax = \beta$的通解为$x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\2\\ - 1\end{pmatrix}$，其中$k$为任意常数。