下列数列中，收敛的是(）。A. x_n = (-1)^n (n-1)/(n)B. x_n = (n)/(n+1)C. x_n = sin (npi)/(2)D. x_n = n - (-1)^n

考查要点：本题主要考查数列收敛性的判断，需要掌握不同形式数列的极限计算方法，特别是对符号交替、周期性变化、多项式增长等因素的分析能力。

解题核心思路：

1. 收敛数列的定义：当$n \to \infty$时，数列的极限存在且为有限值。
2. 逐项分析：
   • 选项A：符号交替且绝对值趋近于1，导致摆动发散。
   • 选项B：分子分母同次，极限为系数比值。
   • 选项C：正弦函数周期性取值，无法收敛。
   • 选项D：线性增长项主导，发散于无穷大。

破题关键：

• 符号交替与极限存在性：若数列摆动且幅度不减小，则发散（如选项A）。
• 分式化简：分子分母同次时，极限为系数比（如选项B）。
• 周期函数特性：$\sin$函数周期性导致数列不收敛（如选项C）。
• 主导项分析：多项式增长项主导时，数列发散（如选项D）。

选项A：$x_n = (-1)^n \frac{n-1}{n}$

1. 化简表达式：$\frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$，当$n \to \infty$时，$\frac{n-1}{n} \to 1$。
2. 符号交替：$(-1)^n$使数列在$1$和$-1$之间摆动，极限不存在。
   结论：发散。

选项B：$x_n = \frac{n}{n+1}$

1. 分子分母同次：$\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$。
2. 极限计算：当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，故$x_n \to 1$。
   结论：收敛于$1$。

选项C：$x_n = \sin \frac{n\pi}{2}$

1. 周期性分析：$\frac{n\pi}{2}$的取值周期为$4$，对应$\sin$值为$1, 0, -1, 0$循环。
2. 摆动特性：数列在$1, 0, -1, 0$间无限循环，无固定极限。
   结论：发散。

选项D：$x_n = n - (-1)^n$

1. 主导项分析：当$n$很大时，$n$远大于$(-1)^n$的绝对值。
2. 增长趋势：$x_n \approx n + 1$或$n - 1$，均趋向$+\infty$。
   结论：发散于无穷大。