sqrt (1-{x)^2}y'=sqrt (1-{y)^2};

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，涉及变量分离、积分运算以及反三角函数的应用。

解题核心思路：

1. 变量分离：将方程中的变量$y$和$x$分别移到等式两边，转化为两个关于单变量的微分表达式。
2. 积分求解：对分离后的两边分别积分，利用标准积分公式$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \arcsin u + C$。
3. 通解表达：通过代数变形，将积分结果转化为关于$y$的显式表达式。

破题关键点：

• 识别方程类型：确认方程为可分离变量方程，通过移项实现变量分离。
• 正确应用积分公式：注意积分结果中的反三角函数形式及常数项的处理。

原方程：
$\sqrt{1-x^2} \, y' = \sqrt{1-y^2}$

步骤1：变量分离
将方程改写为$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}$，再分离变量：
$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

步骤2：积分求解
对两边分别积分：
$\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
利用积分公式$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \arcsin u + C$，得：
$\arcsin y = \arcsin x + C$
（注：积分常数合并为$C$）

步骤3：求通解
对等式两边取正弦函数，得通解：
$y = \sin(\arcsin x + C)$