1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:-|||-2 1 5-|||-(1) -1 0 2 ;-|||-3 1 4-|||-a b c-|||-(2) c a b-|||-b c a-|||-1 a a^2-|||-(3) 1 b b^2 ;-|||-1 c c-|||-x y x+y-|||-(4) y x+y x-|||-x+y x y

步骤 1：计算行列式 (1)
根据对角线法则，计算行列式
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 5 \\
-1 & 0 & 2 \\
3 & 1 & 4
\end{vmatrix}
$$
主对角线方向的乘积之和为：$2 \cdot 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) \cdot 1 = 0 + 6 - 5 = 1$
副对角线方向的乘积之和为：$5 \cdot 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 4 = 0 + 2 - 4 = -2$
行列式的值为：$1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

步骤 2：计算行列式 (2)
根据对角线法则，计算行列式
$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{vmatrix}
$$
主对角线方向的乘积之和为：$a \cdot a \cdot a + b \cdot b \cdot b + c \cdot c \cdot c = a^3 + b^3 + c^3$
副对角线方向的乘积之和为：$c \cdot a \cdot b + a \cdot c \cdot c + b \cdot b \cdot a = 3abc$
行列式的值为：$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

步骤 3：计算行列式 (3)
根据对角线法则，计算行列式
$$
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{vmatrix}
$$
主对角线方向的乘积之和为：$1 \cdot b \cdot c^2 + a \cdot b^2 \cdot 1 + a^2 \cdot 1 \cdot c = bc^2 + ab^2 + a^2c$
副对角线方向的乘积之和为：$a^2 \cdot b \cdot 1 + a \cdot c^2 \cdot 1 + 1 \cdot b^2 \cdot c = a^2b + ac^2 + b^2c$
行列式的值为：$bc^2 + ab^2 + a^2c - (a^2b + ac^2 + b^2c) = (b-c)(c-a)(a-b)$

步骤 4：计算行列式 (4)
根据对角线法则，计算行列式
$$
\begin{vmatrix}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{vmatrix}
$$
主对角线方向的乘积之和为：$x \cdot (x+y) \cdot y + y \cdot x \cdot (x+y) + (x+y) \cdot y \cdot x = xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) = 3xy(x+y)$
副对角线方向的乘积之和为：$(x+y) \cdot x \cdot x + y \cdot y \cdot (x+y) + x \cdot (x+y) \cdot y = x^2(x+y) + y^2(x+y) + xy(x+y) = (x^2 + y^2 + xy)(x+y)$
行列式的值为：$3xy(x+y) - (x^2 + y^2 + xy)(x+y) = -2x^3 - 2y^3$