43【判断题】(2分)判断：函数f(x)=x在区间[-π，π]上的傅里叶级数的展开式为(a_(0))/(2)+sum_(n=1)^infty(a_(n)cos nx+b_(n)sin nx)，则其中的系数b_(n)=(2)/(n).( )A.错B.对

为了判断函数 $ f(x) = x $ 在区间 $[- \pi, \pi]$ 上的傅里叶级数的展开式中系数 $ b_n $ 是否为 $\frac{2}{n}$，我们需要计算 $ b_n $ 的值。傅里叶级数的系数 $ b_n $ 的公式为： \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] 对于函数 $ f(x) = x $，我们有： \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \] 这个积分可以使用分部积分法来计算。设 $ u = x $ 和 $ dv = \sin(nx) \, dx $。那么 $ du = dx $ 和 $ v = -\frac{1}{n} \cos(nx) $。使用分部积分公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，我们得到： \[ \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{n} \cos(nx) \, dx \] \[ = \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \, dx \] 第一项的计算为： \[ \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} = -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) - \left( -\frac{-\pi}{n} \cos(-n\pi) \right) = -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) - \frac{\pi}{n} \cos(n\pi) = -\frac{2\pi}{n} \cos(n\pi) \] 由于 $ \cos(n\pi) = (-1)^n $，我们有： \[ -\frac{2\pi}{n} \cos(n\pi) = -\frac{2\pi}{n} (-1)^n = \frac{2\pi}{n} (-1)^{n+1} \] 第二项的计算为： \[ \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \, dx = \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{n^2} \left[ \sin(nx) \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{n^2} (\sin(n\pi) - \sin(-n\pi)) = \frac{1}{n^2} (0 - 0) = 0 \] 因此，积分的值为： \[ \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \frac{2\pi}{n} (-1)^{n+1} \] 所以，系数 $ b_n $ 为： \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{n} (-1)^{n+1} = \frac{2}{n} (-1)^{n+1} \] 我们看到，$ b_n = \frac{2}{n} (-1)^{n+1} $，而不是 $ \frac{2}{n} $。因此，题目中的说法是错误的。 答案是：$\boxed{A}$