(2) 求函数 z = x ^ ( 3 ) + y ^ ( 3 ) - 3 x ^ ( 2 ) - 3 y ^ ( 2 ) 的极值.

求偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 - 6y \] 解得驻点： \[ (0,0), (0,2), (2,0), (2,2) \] 计算二阶偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x - 6, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6y - 6, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \] 判别式 $D = (6x-6)(6y-6)$： - 对于 $(0,0)$：$D = 36 > 0$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -6 < 0$，极大值点 - 对于 $(0,2)$ 和 $(2,0)$：$D = -36 < 0$，非极值点 - 对于 $(2,2)$：$D = 36 > 0$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6 > 0$，极小值点 计算极值： \[ z(0,0) = 0, \quad z(2,2) = -8 \] **答案：** 极大值：$z(0,0) = 0$ 极小值：$z(2,2) = -8$