题目
17.计算二重积分iintlimits_(D)sqrt(x^2)+y^(2)dxdy，其中D是由曲线y=sqrt(2x-x^2)和直线y=(sqrt(3))/(3)x所围成的underline(闭区域).
17.计算二重积分$\iint\limits_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$，其中D是由曲线$y=\sqrt{2x-x^{2}}$和直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$所围成的$\underline{闭区域}$.
题目解答
答案
将区域 $D$ 转化为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。
圆的方程 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 变为 $r = 2\cos\theta$，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$ 变为 $\theta = \frac{\pi}{6}$。
区域 $D$ 在极坐标下为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$，$0 \leq r \leq 2\cos\theta$。
计算二重积分：
$\iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \, dr \, d\theta = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^3\theta \, d\theta$
利用 $\cos^3\theta = \cos\theta(1 - \sin^2\theta)$，得
$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{11}{24}$
因此，积分值为
$\frac{8}{3} \times \frac{11}{24} = \frac{11}{9}$
答案： $\boxed{\frac{11}{9}}$
解析
本题考查二重积分的计算，解题思路是通过将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分来进行计算。具体步骤如下：
- 确定积分区域 $D$ 在极坐标系下的表示：
- 首先，将曲线方程 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 进行变形。
对 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 两边同时平方可得 $y^2 = 2x - x^2$，移项后得到 $x^2 - 2x + y^2 = 0$。
根据完全平方公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，进一步变形为 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$。
在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，代入上式可得 $(r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta)^2 = 1$。
展开式子：$r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta + 1 + r^2\sin^2\theta = 1$。
因为 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，所以化简为 $r^2 - 2r\cos\theta = 0$，提取公因式 $r$ 得 $r(r - 2\cos\theta) = 0$，解得 $r = 0$ 或 $r = 2\cos\theta$，所以圆的极坐标方程为 $r = 2\cos\theta$。 - 对于直线方程 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，将 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$ 代入可得 $r\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}r\cos\theta$，因为 $r\neq0$（在积分区域内），两边同时除以 $r$ 得 $\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以 $\theta = \frac{\pi}{6}$。
- 由此可知，区域 $D$ 在极坐标下的范围是 $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{6}$，$0\leqslant r\leqslant 2\cos\theta$。
- 首先，将曲线方程 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 进行变形。
- 将被积函数转化为极坐标形式：
在极坐标系中，$\sqrt{x^2 + y^2} = r$，且 $dxdy = r drd\theta$，所以原二重积分 $\iint\limits_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$ 变为 $\iint\limits_{D} r\cdot r drd\theta=\iint\limits_{D} r^2 drd\theta$。 - 计算二重积分：
- 先对 $r$ 积分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 drd\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\left[\frac{1}{3}r^3\right]_{0}^{2\cos\theta}d\theta$
根据牛顿 - 莱布尼茨公式 $\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，可得 $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{3}(2\cos\theta)^3d\theta=\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^3\theta d\theta$。 - 再计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^3\theta d\theta$：
因为 $\cos^3\theta = \cos\theta(1 - \sin^2\theta)$，令 $t = \sin\theta$，则 $dt = \cos\theta d\theta$。
当 $\theta = 0$ 时，$t = \sin0 = 0$；当 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 时，$t = \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$。
所以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^3\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(1 - t^2)dt$。
根据积分公式 $\int(1 - t^2)dt=t-\frac{1}{3}t^3 + C$，可得 $\left[t-\frac{1}{3}t^3\right]_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}=\frac{12 - 1}{24}=\frac{11}{24}$。 - 最后计算原积分的值：
$\frac{8}{3}\times\frac{11}{24}=\frac{11}{9}$。
- 先对 $r$ 积分：