题目
12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求 |(A)^3-(5A)^2+7A|.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义多项式函数
令 $\varphi (\lambda )={\lambda }^{3}-5{\lambda }^{2}+7\lambda $，这是一个关于 $\lambda$ 的多项式函数。
步骤 2：计算多项式函数在特征值处的值
根据特征值的定义，矩阵A的特征值为1,2,3，因此我们需要计算 $\varphi (\lambda )$ 在这些特征值处的值。
- $\varphi (1)={1}^{3}-5\times {1}^{2}+7\times 1=1-5+7=3$
- $\varphi (2)={2}^{3}-5\times {2}^{2}+7\times 2=8-20+14=2$
- $\varphi (3)={3}^{3}-5\times {3}^{2}+7\times 3=27-45+21=3$
步骤 3：计算矩阵多项式的行列式
根据矩阵多项式的性质，$\varphi (A)$ 的特征值为 $\varphi (1)$, $\varphi (2)$, $\varphi (3)$，因此 $|{A}^{3}-5{A}^{2}+7A|=|\varphi (A)|=\varphi (1)\cdot \varphi (2)\cdot \varphi (3)=3\times 2\times 3=18$。
令 $\varphi (\lambda )={\lambda }^{3}-5{\lambda }^{2}+7\lambda $，这是一个关于 $\lambda$ 的多项式函数。
步骤 2：计算多项式函数在特征值处的值
根据特征值的定义，矩阵A的特征值为1,2,3，因此我们需要计算 $\varphi (\lambda )$ 在这些特征值处的值。
- $\varphi (1)={1}^{3}-5\times {1}^{2}+7\times 1=1-5+7=3$
- $\varphi (2)={2}^{3}-5\times {2}^{2}+7\times 2=8-20+14=2$
- $\varphi (3)={3}^{3}-5\times {3}^{2}+7\times 3=27-45+21=3$
步骤 3：计算矩阵多项式的行列式
根据矩阵多项式的性质，$\varphi (A)$ 的特征值为 $\varphi (1)$, $\varphi (2)$, $\varphi (3)$，因此 $|{A}^{3}-5{A}^{2}+7A|=|\varphi (A)|=\varphi (1)\cdot \varphi (2)\cdot \varphi (3)=3\times 2\times 3=18$。