[例1]下列各组函数中,是相同函数的是 __-|||-A. (x)=ln (x)^2 和 (x)=2ln x B. f(x)=|x| 和 (x)=sqrt ({x)^2}-|||-C. f(x)=x 和 (x)=((sqrt {x))}^2 D. f(x)=|x| 和 g(x)=x

步骤 1：分析函数 $f(x)=\ln {x}^{2}$ 和 $g(x)=2\ln x$
- 函数 $f(x)=\ln {x}^{2}$ 的定义域为 $x \neq 0$，即 $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。
- 函数 $g(x)=2\ln x$ 的定义域为 $x > 0$，即 $x \in (0, +\infty)$。
- 由于定义域不同，所以 $f(x)$ 和 $g(x)$ 不是相同函数。

步骤 2：分析函数 $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt {{x}^{2}}$
- 函数 $f(x)=|x|$ 的定义域为 $x \in \mathbb{R}$。
- 函数 $g(x)=\sqrt {{x}^{2}}$ 的定义域为 $x \in \mathbb{R}$。
- 对于任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $g(x)=\sqrt {{x}^{2}}=|x|$，所以 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是相同函数。

步骤 3：分析函数 $f(x)=x$ 和 $g(x)={(\sqrt {x})}^{2}$
- 函数 $f(x)=x$ 的定义域为 $x \in \mathbb{R}$。
- 函数 $g(x)={(\sqrt {x})}^{2}$ 的定义域为 $x \geq 0$，即 $x \in [0, +\infty)$。
- 由于定义域不同，所以 $f(x)$ 和 $g(x)$ 不是相同函数。

步骤 4：分析函数 $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=x$
- 函数 $f(x)=|x|$ 的定义域为 $x \in \mathbb{R}$。
- 函数 $g(x)=x$ 的定义域为 $x \in \mathbb{R}$。
- 由于值域不同，所以 $f(x)$ 和 $g(x)$ 不是相同函数。