设 Sigma 为 x^2 + y^2 + z^2 = 1 的外侧，则计算 iint_(Sigma) x(x^2 + 1), dydz + y(y^2 + 1), dzdx + z(z^2 + 1), dxdy 得A. (12)/(7) piB. 2C. (32)/(5) piD. pi

考查要点：本题主要考查高斯公式的应用，以及在球坐标系下计算三重积分的能力。

解题核心思路：

1. 识别积分类型：题目给出的是第二类曲面积分，且积分曲面为封闭球面的外侧，符合高斯公式的适用条件。
2. 计算向量场的散度：将被积表达式转化为向量场 $\mathbf{F}$，求出其散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$。
3. 转换为三重积分：利用高斯公式将曲面积分转化为球体内的三重积分。
4. 球坐标系积分：通过球坐标系简化积分计算，注意体积元素和变量替换。

破题关键点：

• 正确求出散度：对每个分量分别求偏导并求和。
• 球坐标系的转换：利用 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ 简化被积函数，并正确写出体积元素 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$。

步骤1：应用高斯公式

将曲面积分转换为三重积分：
$\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$
其中向量场 $\mathbf{F} = (x(x^2+1), y(y^2+1), z(z^2+1))$，计算散度：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}[x(x^2+1)] + \frac{\partial}{\partial y}[y(y^2+1)] + \frac{\partial}{\partial z}[z(z^2+1)] = 3(x^2 + y^2 + z^2) + 3.$

步骤2：球坐标系积分

在球坐标系中，$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，体积元素为 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$。积分范围为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq \pi$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。三重积分变为：
$\iiint_{\Omega} [3r^2 + 3] \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi.$

步骤3：分项计算积分

将积分拆分为三个独立积分：

1. 径向积分：
   $\int_0^1 (3r^4 + 3r^2) \, dr = \left[ \frac{3}{5}r^5 + r^3 \right]_0^1 = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}.$
2. 极角积分：
   $\int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2.$
3. 方位角积分：
   $\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi.$

步骤4：合并结果

最终结果为：
$\frac{8}{5} \times 2 \times 2\pi = \frac{32}{5}\pi.$