已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 [ f(x,y)= } (6)/(pi^2 (4+x^2)(9+y^2)), & -infty A. (2)/(pi (4+x^2))B. (3)/(pi (9+x^2))C. (1)/(pi (4+x^2))D. (1)/(pi (9+x^2))

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度的计算方法，以及对标准积分公式的应用能力。

解题核心思路：

1. 边缘密度的定义：X的边缘密度$f_X(x)$是对联合密度$f(x,y)$在$y$上积分。
2. 积分化简：将与$y$无关的项提出，利用标准积分公式$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{a^2 + y^2} dy = \frac{\pi}{a}$完成计算。
3. 代数运算：正确处理系数和变量，最终化简得到结果。

破题关键点：

• 识别积分形式：将积分拆分为与$y$无关的部分和仅含$y$的部分。
• 应用标准积分公式：快速匹配题目中的分母形式，确定$a=3$代入公式。

步骤1：写出边缘密度的定义式
根据边缘密度的定义，对联合密度$f(x,y)$关于$y$积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{6}{\pi^2 (4+x^2)(9+y^2)} \, dy.$

步骤2：提取与$y$无关的项
将分母中与$y$无关的部分$(4+x^2)$提出：
$f_X(x) = \frac{6}{\pi^2 (4+x^2)} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{9+y^2} \, dy.$

步骤3：应用标准积分公式
利用积分公式$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{a^2 + y^2} dy = \frac{\pi}{a}$，其中$a=3$：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{9+y^2} \, dy = \frac{\pi}{3}.$

步骤4：代入并化简
将积分结果代入原式：
$f_X(x) = \frac{6}{\pi^2 (4+x^2)} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\pi (4+x^2)}.$

结论：最终结果为选项A。