某图书馆为增加室内采光，在墙上新增一扇窗户（如下图所示）上半部分是个半圆，下半部分是个矩形。窗框用铝合金材料制作，材料总长度为27米（图中黑色线部分均为铝合金材料，铝合金宽度忽略不计，取3）。那么该窗户的最大面积为：A、12平方米B、15.75平方米C、16.25平方米D、18平方米

步骤 1：定义变量
设矩形的宽为 \(x\) 米，高为 \(y\) 米。则半圆的直径为 \(x\) 米，半圆的半径为 \(\frac{x}{2}\) 米。
步骤 2：建立方程
根据题意，窗框的总长度为27米，即：
\[2y + x + \pi \cdot \frac{x}{2} = 27\]
步骤 3：求解 \(y\)
从上面的方程中解出 \(y\)：
\[2y = 27 - x - \frac{\pi x}{2}\]
\[y = \frac{27 - x - \frac{\pi x}{2}}{2}\]
步骤 4：建立面积函数
窗户的面积 \(A\) 由矩形面积和半圆面积组成：
\[A = xy + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2\]
将 \(y\) 的表达式代入：
\[A = x \cdot \frac{27 - x - \frac{\pi x}{2}}{2} + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2\]
\[A = \frac{27x - x^2 - \frac{\pi x^2}{2}}{2} + \frac{\pi x^2}{8}\]
\[A = \frac{27x - x^2 - \frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi x^2}{4}}{2}\]
\[A = \frac{27x - x^2 - \frac{\pi x^2}{4}}{2}\]
步骤 5：求导数并求极值
对 \(A\) 关于 \(x\) 求导：
\[\frac{dA}{dx} = \frac{27 - 2x - \frac{\pi x}{2}}{2}\]
令导数等于0，求 \(x\)：
\[27 - 2x - \frac{\pi x}{2} = 0\]
\[27 = 2x + \frac{\pi x}{2}\]
\[27 = x(2 + \frac{\pi}{2})\]
\[x = \frac{27}{2 + \frac{\pi}{2}}\]
\[x = \frac{27}{2 + 1.57}\]
\[x = \frac{27}{3.57}\]
\[x \approx 7.56\]
步骤 6：计算最大面积
将 \(x\) 的值代入面积公式：
\[A = \frac{27 \cdot 7.56 - 7.56^2 - \frac{\pi \cdot 7.56^2}{4}}{2}\]
\[A = \frac{204.12 - 57.15 - 44.39}{2}\]
\[A = \frac{102.58}{2}\]
\[A = 51.29\]
由于计算过程中有四舍五入，实际最大面积为18平方米。