题目
2.求下列各微分方程满足所给初值条件的特解:-|||-(2) ''-a(y')^2=0 (|)_(x=0)=0, '(|)_(x=0)=-1;
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量
令 $y'=p$，则 $y''=p'$，原方程化为 $p'-a{p}^{2}=0$。
步骤 2：分离变量
分离变量得 $\frac{dp}{{p}^{2}}=adx$。
步骤 3：积分
对上式两边积分得 $-\frac{1}{p}=ax+C_{1}$。
步骤 4：代入初值条件
代入初值条件 $x=0$，$p=y'=-1$，得 $C_{1}=1$，从而有 $-\frac{1}{p}=ax+1$。
步骤 5：求 $y'$
由 $-\frac{1}{p}=ax+1$，得 $p=y'=-\frac{1}{ax+1}$。
步骤 6：积分求 $y$
对 $y'=-\frac{1}{ax+1}$ 积分得 $y=-\frac{\ln(ax+1)}{a}+C_{2}$。
步骤 7：代入初值条件
代入初值条件 $y{|}_{x=0}=0$，得 $C_{2}=0$。
步骤 8：写出特解
所求特解为 $y=-\frac{\ln(ax+1)}{a}$。
令 $y'=p$，则 $y''=p'$，原方程化为 $p'-a{p}^{2}=0$。
步骤 2：分离变量
分离变量得 $\frac{dp}{{p}^{2}}=adx$。
步骤 3：积分
对上式两边积分得 $-\frac{1}{p}=ax+C_{1}$。
步骤 4：代入初值条件
代入初值条件 $x=0$，$p=y'=-1$，得 $C_{1}=1$，从而有 $-\frac{1}{p}=ax+1$。
步骤 5：求 $y'$
由 $-\frac{1}{p}=ax+1$，得 $p=y'=-\frac{1}{ax+1}$。
步骤 6：积分求 $y$
对 $y'=-\frac{1}{ax+1}$ 积分得 $y=-\frac{\ln(ax+1)}{a}+C_{2}$。
步骤 7：代入初值条件
代入初值条件 $y{|}_{x=0}=0$，得 $C_{2}=0$。
步骤 8：写出特解
所求特解为 $y=-\frac{\ln(ax+1)}{a}$。