题目
212 级数 sum _(n=1)^infty dfrac (1)({n)^alpha (beta )^n}(alpha gt 0,beta gt 0) 的敛散性-|||-(A)仅与β取值有关. (B)仅与α取值有关.-|||-(C)与α和β的取值都有关. (D)与α和β的取值都无关.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用根值判别法
对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$，我们首先应用根值判别法，计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}$，其中 ${u}_{n}=\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$。
步骤 2：计算极限
$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\beta {(\sqrt [n]{n})}^{\alpha }}=\dfrac {1}{\beta }$。
步骤 3：分析敛散性
1) 当 $0\lt \beta \lt 1$ 时，$\dfrac {1}{\beta } \gt 1$，根据根值判别法，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$ 发散。
2) 当 $\beta \gt 1$ 时，$\dfrac {1}{\beta } \lt 1$，根据根值判别法，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$ 收敛。
3) 当 $\beta =1$ 时，原级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }}$，这是一个p级数，当 $\alpha \gt 1$ 时收敛，当 $\alpha \leqslant 1$ 时发散。
对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$，我们首先应用根值判别法，计算 $\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}$，其中 ${u}_{n}=\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$。
步骤 2：计算极限
$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\beta {(\sqrt [n]{n})}^{\alpha }}=\dfrac {1}{\beta }$。
步骤 3：分析敛散性
1) 当 $0\lt \beta \lt 1$ 时，$\dfrac {1}{\beta } \gt 1$，根据根值判别法，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$ 发散。
2) 当 $\beta \gt 1$ 时，$\dfrac {1}{\beta } \lt 1$，根据根值判别法，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }{\beta }^{n}}$ 收敛。
3) 当 $\beta =1$ 时，原级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{\alpha }}$，这是一个p级数，当 $\alpha \gt 1$ 时收敛，当 $\alpha \leqslant 1$ 时发散。