计算∫∫∫zdxdydz-|||-Ω, 其中Ω是由锥面∫∫∫zdxdydz-|||-Ω与平面z=h(R>0, h>0)所围成的闭区域.

考查要点：本题主要考查三重积分的计算，特别是利用截面法（柱坐标系）处理锥体区域的积分问题。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：闭区域Ω是由锥面$z=\dfrac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2}$和平面$z=h$围成的圆锥体。
2. 截面法简化积分：对于每个固定高度$z$，截面区域$D_z$是一个半径为$\dfrac{R}{h}z$的圆，面积为$\dfrac{\pi R^2}{h^2}z^2$。
3. 转化为一重积分：将三重积分转化为对$z$的一重积分，被积函数为$z \cdot \text{截面面积}$。

破题关键点：

• 截面面积的表达式：通过锥面方程确定截面圆的半径，进而求出面积。
• 积分变量替换：利用$z$的范围$[0, h]$，将三重积分简化为对$z^3$的积分。

步骤1：确定截面区域

对于固定高度$z$，截面区域$D_z$由锥面方程$z=\dfrac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2}$决定，解得$\sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{R}{h}z$，即截面为半径$r=\dfrac{R}{h}z$的圆。

步骤2：计算截面面积

截面圆的面积为：
$S(z) = \pi r^2 = \pi \left( \dfrac{R}{h}z \right)^2 = \dfrac{\pi R^2}{h^2}z^2.$

步骤3：转化为一重积分

三重积分可表示为：
$\iiint_{\Omega} z \, dxdydz = \int_{0}^{h} z \cdot S(z) \, dz = \int_{0}^{h} z \cdot \dfrac{\pi R^2}{h^2}z^2 \, dz.$

步骤4：计算定积分

化简被积函数并积分：
$\int_{0}^{h} \dfrac{\pi R^2}{h^2} z^3 \, dz = \dfrac{\pi R^2}{h^2} \cdot \dfrac{h^4}{4} = \dfrac{\pi R^2 h^2}{4}.$