题目
判断下列积分值的大小: I_1 = iint_(D) ln^3 (x + y), dx , dy， I_2 = iint_(D) (x + y)^3 , dx , dy， I_3 = iint_(D) [sin (x + y)]^3 , dx , dy，其中 D 由 x = 0, y = 0, x + y = (1)/(2), x + y = 1 围成，则 I_1, I_2, I_3 之间的大小顺序为（）A. I_1 B. I_3 C. I_1 D. I_3
判断下列积分值的大小: $I_1 = \iint_{D} \ln^3 (x + y)\, dx \, dy$， $I_2 = \iint_{D} (x + y)^3 \, dx \, dy$， $I_3 = \iint_{D} [\sin (x + y)]^3 \, dx \, dy$，其中 $D$ 由 $x = 0, y = 0, x + y = \frac{1}{2}, x + y = 1$ 围成，则 $I_1, I_2, I_3$ 之间的大小顺序为（）
A. $I_1 < I_2 < I_3$
B. $I_3 < I_2 < I_1$
C. $I_1 < I_3 < I_2$
D. $I_3 < I_1 < I_2$
题目解答
答案
C. $I_1 < I_3 < I_2$
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$ 的范围
$D$ 由 $x = 0, y = 0, x + y = \frac{1}{2}, x + y = 1$ 围成，因此 $D$ 的范围是 $\frac{1}{2} \leq x+y \leq 1$。
步骤 2：分析被积函数在区间 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 内的性质
- $\ln t$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 内小于0，且单调递增；
- $\sin t$ 和 $t$ 均大于0，且满足 $\sin t \leq t$。
步骤 3：比较被积函数的大小关系
- $\ln^3 t < 0$，最小；
- $[\sin t]^3$ 和 $t^3$ 均大于0，且 $[\sin t]^3 \leq t^3$。
因此，被积函数大小关系为： \[ \ln^3(x+y) \leq [\sin(x+y)]^3 \leq (x+y)^3 \]
步骤 4：确定积分值的大小顺序
由于被积函数的大小关系为 $\ln^3(x+y) \leq [\sin(x+y)]^3 \leq (x+y)^3$，因此积分值的大小顺序为： \[ I_1 \leq I_3 \leq I_2 \]
$D$ 由 $x = 0, y = 0, x + y = \frac{1}{2}, x + y = 1$ 围成，因此 $D$ 的范围是 $\frac{1}{2} \leq x+y \leq 1$。
步骤 2：分析被积函数在区间 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 内的性质
- $\ln t$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 内小于0，且单调递增；
- $\sin t$ 和 $t$ 均大于0，且满足 $\sin t \leq t$。
步骤 3：比较被积函数的大小关系
- $\ln^3 t < 0$，最小；
- $[\sin t]^3$ 和 $t^3$ 均大于0，且 $[\sin t]^3 \leq t^3$。
因此，被积函数大小关系为： \[ \ln^3(x+y) \leq [\sin(x+y)]^3 \leq (x+y)^3 \]
步骤 4：确定积分值的大小顺序
由于被积函数的大小关系为 $\ln^3(x+y) \leq [\sin(x+y)]^3 \leq (x+y)^3$，因此积分值的大小顺序为： \[ I_1 \leq I_3 \leq I_2 \]