题目

int_(0)^2(1)/(1+sqrt[3](x))dx;

$\int_{0}^{2}\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}dx;$

题目解答

答案

为了求解积分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} \, dx$，我们首先进行换元。令 $u = \sqrt[3]{x}$，则 $x = u^3$，且 $dx = 3u^2 \, du$。当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 2$ 时，$u = \sqrt[3]{2}$。因此，积分可以重写为： \[ \int_{0}^{2} \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} \, dx = \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{1}{1+u} \cdot 3u^2 \, du = 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{u^2}{1+u} \, du. \] 接下来，我们需要对 $\frac{u^2}{1+u}$ 进行多项式长除法。将 $u^2$ 除以 $1+u$，我们得到： \[ u^2 = (u+1)(u-1) + 1, \] 所以 \[ \frac{u^2}{1+u} = u-1 + \frac{1}{1+u}. \] 将这个结果代入积分中，我们得到： \[ 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{u^2}{1+u} \, du = 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \left( u-1 + \frac{1}{1+u} \right) \, du. \] 这个积分可以分成三个部分： \[ 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} u \, du - 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} 1 \, du + 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{1}{1+u} \, du. \] 分别计算每个部分，我们得到： \[ 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} u \, du = 3 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = 3 \cdot \frac{(\sqrt[3]{2})^2}{2} = \frac{3 \cdot 2^{2/3}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{4}}{2}, \] \[ -3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} 1 \, du = -3 \left[ u \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = -3 \cdot \sqrt[3]{2}, \] \[ 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{1}{1+u} \, du = 3 \left[ \ln|1+u| \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = 3 \left( \ln(1+\sqrt[3]{2}) - \ln 1 \right) = 3 \ln(1+\sqrt[3]{2}). \] 将这三个结果相加，我们得到： \[ \frac{3 \cdot \sqrt[3]{4}}{2} - 3 \cdot \sqrt[3]{2} + 3 \ln(1+\sqrt[3]{2}). \] 因此，积分的值是： \[ \boxed{\frac{3 \sqrt[3]{4}}{2} - 3 \sqrt[3]{2} + 3 \ln(1+\sqrt[3]{2})}. \]

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过换元法简化积分表达式，以及分式分解的技巧。

解题核心思路：

  1. 换元法：通过令 $u = \sqrt[3]{x}$，将原积分转化为关于 $u$ 的更易处理的形式。
  2. 分式分解：将 $\frac{u^2}{1+u}$ 分解为多项式与简单分式的组合，便于逐项积分。
  3. 逐项积分：分别计算分解后的多项式和分式的积分，最后合并结果。

破题关键点：

  • 选择合适的换元：三次根号的结构提示用 $u = \sqrt[3]{x}$ 换元。
  • 多项式长除法：将 $\frac{u^2}{1+u}$ 分解为 $u-1 + \frac{1}{1+u}$，简化积分过程。

步骤1：换元法简化积分
令 $u = \sqrt[3]{x}$，则 $x = u^3$，$dx = 3u^2 \, du$。积分上下限变为：

  • 当 $x = 0$ 时，$u = 0$；
  • 当 $x = 2$ 时，$u = \sqrt[3]{2}$。

原积分转化为：
$\int_{0}^{2} \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} \, dx = 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{u^2}{1+u} \, du.$

步骤2：分式分解
将 $\frac{u^2}{1+u}$ 进行长除法：
$u^2 = (u+1)(u-1) + 1 \implies \frac{u^2}{1+u} = u - 1 + \frac{1}{1+u}.$

步骤3：逐项积分
将积分拆分为三部分：
$3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \left( u - 1 + \frac{1}{1+u} \right) \, du.$

  1. 积分 $\int u \, du$：
    $3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} u \, du = 3 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = \frac{3 \cdot 2^{2/3}}{2} = \frac{3 \sqrt[3]{4}}{2}.$

  2. 积分 $\int 1 \, du$：
    $-3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} 1 \, du = -3 \left[ u \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = -3 \sqrt[3]{2}.$

  3. 积分 $\int \frac{1}{1+u} \, du$：
    $3 \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} \frac{1}{1+u} \, du = 3 \left[ \ln|1+u| \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}} = 3 \ln(1+\sqrt[3]{2}).$

步骤4：合并结果
将三部分相加，最终结果为：
$\frac{3 \sqrt[3]{4}}{2} - 3 \sqrt[3]{2} + 3 \ln(1+\sqrt[3]{2}).$