求极限：lim _(xarrow infty )((sin dfrac {1)(x)+cos dfrac (1)(x))}^x-|||-__ __

步骤 1：变量替换
令 $t = \dfrac{1}{x}$，则当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0$。原式变为 $\lim _{t\rightarrow 0}{(\sin t+\cos t)}^{\frac{1}{t}}$。
步骤 2：指数形式转换
将原式转换为指数形式，即 $\lim _{t\rightarrow 0}e^{\frac{1}{t}\ln(\sin t+\cos t)}$。
步骤 3：洛必达法则
对 $\frac{1}{t}\ln(\sin t+\cos t)$ 使用洛必达法则，即求导数的极限。首先求导数：
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\ln(\sin t+\cos t)\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{\ln(\sin t+\cos t)}{t}\right)$$
$$= \frac{\frac{d}{dt}(\ln(\sin t+\cos t)) \cdot t - \ln(\sin t+\cos t) \cdot \frac{d}{dt}(t)}{t^2}$$
$$= \frac{\frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \cdot t - \ln(\sin t+\cos t)}{t^2}$$
步骤 4：求极限
当 $t \rightarrow 0$ 时，$\frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \rightarrow 1$，$\ln(\sin t+\cos t) \rightarrow \ln(1) = 0$，因此：
$$\lim _{t\rightarrow 0}\frac{\frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \cdot t - \ln(\sin t+\cos t)}{t^2} = \lim _{t\rightarrow 0}\frac{1 \cdot t - 0}{t^2} = \lim _{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty$$
步骤 5：计算最终极限
由于 $\lim _{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}\ln(\sin t+\cos t) = \infty$，因此 $\lim _{t\rightarrow 0}e^{\frac{1}{t}\ln(\sin t+\cos t)} = e^{\infty} = \infty$。